שנה"ל תשע"ט

 
 Calculus 1a for Physicists 
חדו"א 1א' לפיזיקאים - סילבוס
1. מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות ובלוגיקה
2. מספרים טבעיים, שלמים ורציונליים כולל מושג השקילות ואינדוקציה
3. מספרים ממשיים סופרמום ואינפימום
4. סדרות ומושג הגבול, סדרות קושי, הלמה של קנטור, לימסופ ולימאינפ
5. פונקציות, חד-חד ועל, מונוטוניות, גבולות לפי קושי ולפי היינה, רציפות, רציפות במידה שווה
6. נגזרות
7. המשפטים היסודיים של חשבון דיפרנציאל: משפטי ערך ממוצע, לופיטל ונוסחת טיילור
8. חקירת פונקציה
9.האינטגרל הלא מסוים
10. אינגרל מסוים, סכומי דרבו, האינטגרל של רימן
 
 
 Calculus 1a 

 

 

1. מספרים ממשיים. סופרמום. קבוצות בנות מנייה.
2. סדרות. התכנסות והתבדרות. סדרות חסומות. תתי-סדרות
מתכנסת. גבולות תחתונים ועליונים. סדרות קושי. טורים אינסופיים.
התכנסות בהחלט.
3. פונקציות של משתנה ממשי. גבולות של פונקציות. רציפות.
משפט ערך הביניים. משפט ויירשטראס לגבי מקסימום של פונקציה.
רציפות במידה שווה.
4. הנגזרת. נגזרות מסדר גבוה. משפטי ערך ממוצע. כלל לופיטל. קמירות.
5. פולינומי טיילור עם שארית. פיתוח לטור חזקות של פונקציות אלמנטריות.

 

 

 
 
 Calculus 2a 
1. אינטגרל רימן, הגדרה ותכונות בסיסיות. המשפט היסודי 
של החשבון הדיפרנציאלי ואינטגרלי (משפט ניוטון-ליבניץ). אינטגרציה בחלקים. החלפת
משתנים. אינטגרל בלתי מסויים. אורך של עקום.
2. התכנסות במידה שווה של סדרות וטורי פונקציות. רציפות הגבול.
משפט התכנסות במידה שווה עבור האינטגרל. משפט השוואה להתכנסות
טורים במידה שווה (M-בוחן). משפט ויירשטראס על קירוב במידה שווה ע"י פולינומים.
3. טורים מרוכבים. הכפלת טורים. רדיוס התכנסות של טורי חזקות. 
קריטריון אבל-דיריכלה להתכנסות. משפט אבל על רציפות טורי חזקות.
4. טור פורייה. הלמה של רימן-לבג. גרעין דיריכלה, גרעין פייר. התכנסות
של טורי פורייה. משפט פייר, התכנסות בממוצע. נוסחת פרסבל. 
5. מרחבים סוף-מימדיים. קבוצות פתוחות וסגורות. התכנסות.
פונקציות רציפות.
6. דיפרנציאביליות. נגזרות חלקיות. כלל השרשרת. נגזרות כיווניות, 
גרדיאנט, קווי גובה. נגזרות חלקיות רציפות ודיפרנציאביליות. תכונת
ערך הביניים.
7. נגזרות חלקיות מסדר גבוה. משפט הנגזרות המעורבות. פולינומי טיילור.
מיון נקודות סטציונריות. 
 
 
 Intro. to Computer Science 

 

מטרת הקורס היא להעניק לסטודנטים רקע בתחומים השונים של מדעי המחשב ולספק להם כלים שבעזרתם יוכלו לפתור בעיות בתחומים מגוונים בעזרת תוכנה.
הקורס מועבר בשפת פייתון ובו נלמדים יסודות התכנות, ייצוג נתונים בזיכרון, מבני נתונים, אלגוריתמים בסיסיים דוגמת חיפוש ומיון ומבוא לגרפים. כמו כן יכוסו נושאים מתקדמים במדעי המחשב כגון אלגוריתמים אקראיים ואלגוריתמי קירוב, בעיות אופטימיזציה ושיטות לסיווג מידע
This course provides background in various topics in Computer Science with the purpose of giving the students the capabilities to solve problems using software development.
The course is given in the Python language, and mainly deals with programming fundamentals, data structures and algorithms. The course will also cover advanced topics in Computer Science such as randomized and approximation algorithms, optimization problems and methods for data classificatio
 
 
 Linear Algebra 1a 
 אלגברה לינארית 1א
מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות. מרחב דואלי ודואלי שני, בסיס דואלי. מרחב מחפלה פנימית: משלים אורתוגונלי, בסיס אורתונורמלי, אלגוריתם של גרם-שמיט, אי-שיוויון קושי-שוורץ, העתקות ומטריצות אורתוגונליות.
 
 
 
 
 Linear Algebra 2a 

(1)פולינומים (2) תת-מרחבים אינווריאנטיים, פירוק פרימרי, ליכסון של אופרטורים ליניאריים, צורות קנוניות,צורת ז'ורדן. (3) מרחבי מכפלה פנימית, אופרטורים ליניאריים במרחב מכפלה פנימית, פירוק ספקטרלי. (4) תבניות דו-ליניאריות וריבועיות. דרישות קדם: אלגברה ליניארית 1. ספרי לימוד: S. Lang. Linear algebra. G. Strang. Linear algebra and its applications. K. Hoffman, R. Kunze. Linear algebra. A. Kostrikin, Yu. Manin. Linear algebra and geometry. אלגברה ליניארית בהוצאת שאום. ש' עמיצור. אלגברה א'. י' גולן. יסודות האלגברה הליניארית.

 
 
 Linear Algebra 1b 

מספרים מרוכבים, פתרון משוואות לינאריות, דטרמיננטים, נוסחת קרמר. מרחבים וקטוריים מעל שדה הממשיים והמרוכבים, בסיס ומימד, העתקות לינאריות ומטריצות, גרעין, טווח, מימד הטווח ודרגה של מטריצה, הרכבה של אופרטורים וכפל-מטריצות, החלפת בסיסים בתחום ובטווח. אופרטורים ממרחב לעצמו ומטריצות, תלות בבחירת הבסיס. מכפלה סקלרית ונצבות. אי-שיוויון שוורץ, ערך מוחלט של וקטור, אי-שיוויון המשולש. בסיס אורתונורמלי, היטל אורתוגינלי, תהליך גראם-שמידט.

 

 

 

 

 

 
 
 Linear Algebra 2b 

פירוק פולינומים, ריבוי של שורש, אידיאלים, מחלק משותף מקסימלי, האלגוריתמוס של אוקלידס, המשפט היסודי של האלגברה, משפט Bezout, פירוק פולינומים עם מקדמים מרוכבים. דמיון של מטריצות. ערכים וקטוריים עצמיים, פולינום אופייני של מטריצה, ערכים עצמיים של פונקציה של מטריצה. ריבוי גיאומטרי ואלגברי של ערך עצמי. לכסון מטריצות על-ידי דמיון, הצורה הקנונית של ז'ורדן, משפט מיון (ללא הוכחה), משפט Cayley‑Hamilton. עקבה של מטריצה ותכונותיה, הקשר בין פולינום אופייני, דטרמיננט ועקבה. מרחבי מכפלה פנימית מעל הממשיים והמרוכבים, מטריצה צמודה ואופרטור צמוד, אופרטור צמוד לעצמו, מטריצות הרמיטיות וסימטריות. משפט ספקטרלי, מטריצות אוניטריות ואורתוגונליות. מיון שניוניות במישור ובמרחב. יישומים: (חלק מהנושאים הבאים, ייתכנו שינויים) שיטת הריבועים הפחותים, מנת ריילי, שיטת המינימקס, משפט הפרדה של ערכים עצמיים, אופרטור חיובי, תנאי חיוביות של מטריצה סימטרית. משוואת הפרשים, סדרת פיבונצ'י, תנאים לקיום הגבול L = limn®¥ Mn.  מטריצת מעבר, קיום ויחידות של מצב יציב.  מבוא לתורת החבורות: תת-חבורות, משפט לגרנז'.

 
 
 Calculus 1b 

 

חדו"א 1ב

מושגים בסיסיים וסימונים - הקבוצה והפונקציה. סדרות ממשיות, מושג הגבול, טורים וחסמים, פונקציות רציפות (ממשיות במשתנה ממשי), מקסימום ומינימום, המספר הנגזר, פונקציות גזירות, משפטי ערך הביניים. כללי גזירה, פולינומים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים, מקסימום ומינימום של פונקציות גזירות, נקודות פיתול, נגזרת שנייה ופונקציות קמורות וקעורות. נגזרת מסדר גבוה, נוסחת טיילור, כלל לופיטל. האינטגרל המסוים, הפונקציה הקדומה והקשר ביניהם. שימושים של אינטגרל מסוים, אינטגרלים לא אמיתיים. טורי חזקות: משפט קושי-הדמר. טור טיילור.  

 

 

 

 
 
 Calculus 2b 
חשבון דיפרנציאלי במספר משתנים: פונקציות של מספר משתנים, נגזרות חלקיות, דיפרנציאל שלם, כלל השרשרת, טור טיילור ב- 2 משתנים, יעקוביאנים, ערכים קיצוניים, כפל לגרנג', קואורדינטות קוטביות, חשבון אינטגרלי במספר משתנים, אינטגרלים כפולים ומשולשים בקואורדינטות קרטזיות, שינויי משתני אינטגרציה ע"י שימוש ביעקוביאנים (דוגמאות בחישוב שטחים, נפחים, מסה, בקואורדינטות קרטזיות, פולריות וגליליות), אינטגרלים קווים, משפט גרין, תלות האינטגרל במסלול, טורי פוריה, גזירה ואינטגרציה של טורי פוריה, שוויון פרסבל, התמרת פוריה, התמרת פוריה הפוכה, תכונות. 
 
 
 
 Calculus 1c 

סמסטר א

פונקציה ממשית של משתנה ממשי; תחום הגדרה; גבול, רציפות; נגזרת;  נגזרת כשעור השינוי וכשיפוע, נגזרות גבוהות יותר; התנהגות מקומית של פונקציה הנקבעת על-ידי ערכי נגזרותיה בנקודה. כללי גזירה; נגזרות של פונקציות פשוטות. פיתוח  Taylor. דוגמאות ליישומים של נגזרות: מכסימום ומינימום. אינטגרל בלתי מסוים; טכניקות אינטגרציה. אינטגרל מסוים Riemann)); דוגמאות ליישומים של אינטגרלים: שטח במישור, אורך עקומה מישורית, שטח ונפח של משטח סיבוב, עבודה; משוואות דיפרנציאליות פשוטות

 

 

A real function of a real variable; domain of definition; limits, contiguous; derivatives; local behavior of a function; derivatives of simple functions, higher derivatives, Taylor's approximation.  Examples of applications of derivatives, tangent: maximum and minimum.

Improper integral; integration techniques; Riemann integral; examples of applications of integrals: length, area and volume of the body of revolution.

Simple differential equations.  

 
 
 Calculus 2c 
סמסטר  ב
פונקציה ממשית של n משתנים ממשיים; תחום הגדרה; פירוש גיאומטרי עבור n=2 ועבור כל n. גבול, רציפות. נגזרות חלקיות; דיפרנציאביליות, משוואת מישור משיק ונורמל למשטח עבור n=2. דיפרנציאל שלם; כלל השרשרת; נוסחת Taylor. נקודות סטציונריות עבור n=2 מכסימום, מינימום; נקודת אוכף.; יעקוביאן; נגזרות של פונקציות סתומות f(x,y)=O;  מישור משיק למשטח f(x,y,z)=O; מכסימום ומינימום עם אילוצים: כופלי Lagrange; מציאת מכסימום/מינימום גלובליים בתחום.
 גזירת אינטגרלים; אינטגרלים כפולים, שינוי משתנים , אינטגרלים משולשים, קואורדינאטות גליליות וכדוריות; אינטגרלים קוויים, האינטגרל של דיפרנציאל שלם.משפט גרין.
 חשבון ווריאציות.
 
 
 
A real function of n real variables; domain of definition; geometric interpretation for n = 2, and for each n. Limit, Contiguous. Partial derivatives; differentiability, the equation for the plane tangent to the surface for n = 2; the chain rule; Taylor formula, stationarypoints for n = 2: maximum, minimum; saddle point, Jacobean. Full differential; derivatives of implicit functions f (x, y) = O; plane tangent to the surface f (x, y, z) = O; maximum and minimum with constraints: Lagrange multiplicators.
Derivatives from the integrals; 2-dimentional integral, change of variables; 3-dimentional integral; cylindrical and spherical coordinates; integrals over lines, the integral of a full differential.  Green's theorem.
Variation calculation.
 
 
 Linear Algebra 1c 

 

סילבוס של הקורס אלגברה ליניארית 1ג' (לכימאים)      
מס. קורס 0366-1130   
 
תוכן הקורס:
 
מערכות משוואות ליניאריות, שיטת גאוס, מערכות הומוגניות.
מטריצות- מיון, פעולות, מטריצות הפיכות, דטרמיננטות.
מרחבים וקטורים: פעולות עם וקטורים, תלות ליניארית, בסיס ומימד, החלפת בסיס, תת-מרחבים, כפל סקלרי ווקטורי, בסיס אורתוגונאלי, היטל.
העתקות ליניאריות, גרעין, תמונה, מטריצה של העתקה, העתקה חד-חד ערכית והעתקה הפוכה, שינוי בסיס. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים, ריבוי אלגברי וגיאומטרי, ליכסון של מטריצה והעתקה.
 
 
 
 Introduction to Probability Theory 

קורס זה מלמד את יסודות ההסתברות הבדידה.
דרישות קדם: מבוא לתורת הקבוצות, מבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2א' ואלגברה לינארית 2א'.
הקורס מתמטיקה בדידה יתקבל במקום הדרישה לקורסים מבוא לתורת הקבוצות ומבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים. אפשר לקחת את הקורסים חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2א' ואלגברה לינארית 2א' במקביל למבוא להסתברות.

סילבוס הקורס:
מרחבי הסתברות סופיים ובני מנייה, מאורעות, הסתברות אחידה וקומבינטוריקה, חסם האיחוד, נוסחת ההכלה וההפרדה.
הסתברות מותנה, אי תלות, כללי שרשרת, נוסחת ההסתברות השלמה, חוק בייז.
משתנים מקריים, התפלגות משותפת, התפלגות מותנה, אי תלות, פונקציות של משתנים מקריים.
התפלגויות בדידות נפוצות: ברנולי, אחידה, בינומית, גיאומטרית, היפרגיאומטרית, פואסונית ואחרות.
תוחלת, שונות, שונות משותפת, מתאם, תוחלת מותנה ושונות מותנה.
אי שוויונות מרקוב, צ'בישב וינסן, החוק החלש של המספרים הגדולים, משפט גבול פואסוני ומשפט הגבול המרכזי.
שרשראות מרקוב בעלות מרחב מצבים סופי: הגדרה, פריקות ומחזוריות, התפלגות סטציונרית ומשפט ההתכנסות להתפלגות הסטציונרית.
נושאים נוספים ודוגמאות שידונו לפי בחירת המרצה: הילוכים מקריים, גרפים מקריים ופרקולציה, צימודים, מרחק הוריאציה בין התפלגויות, זמני ערבוב, פרמוטציות מקריות, תהליכי הסתעפות, אי שוויונות לסטיות גדולות ומושג האנטרופיה.

 
 
 Ordinary Differential Equations 1 

משוואות ומערכות, דוגמאות, שיטות פתרון, תיאוריה של בעיות התחלה, תיאוריה של משוואות לינאריות, מבוא למערכות דינמיות, תורת שטורם ליוביל

 

 
 
 Numerical Analysis 

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. משפט ויירשטרס על קרוב פולינומיאלי, פולינומי ברנשטיין. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון, אינטרפולציה טריגונומטרית. הפרשים מחולקים, אנליזה פורמלית של הפרשים סופיים. אינטרפולצית הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית, הוכחת הרדוקציה של אינטרפולצית ניוטון להרמיט. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים והוכחת תכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי, הוכחת התכנסות במקרה הטריגונומטרי כאשר הפונקציה חלקה למקוטעין. קרוב המינימקס, איפיון וחישוב, פולינומי צ'בישב, האלגוריתם של רמז. משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, שיטת ניוטון-רפסון למערכת, קצב התכנסות, שיטת החזקה לערכים עצמיים. אקסטרפולציה. פונקציות ספליין: איפיון, חישוב ותכונות קרוב, B-splines.

 

 

 

 

 
 
 Topology 

 

מרחבים טופולוגיים. בסיס לטופולוגיה. מרחבים מטריים. מיון נקודות ביחס לתת-קבוצה. טופולוגיה מושרית. העתקות רציפות. קשירות, קשירות מסילתית. אקסיומות הפרדה. אקסיומות מנייה. קומפקטיות. מכפלה של מרחבים טופולוגיים. מרחבים מטריזביליים. מרחב-מנה. מרחב העתקות. יריעה טופולוגית, יריעה עם שפה. יריעות חד-מימדיות. משטחים סגורים. איפיון Euler ואוריינטביליות. הומוטופיה. חבורה יסודית. מרחב פשוט קשר. כיסוי, מסילה מכסה. חבורה יסודית והעתקות רציפות. משפט Seifert-Van Kampen. מרחבים תאיים. יריעות חלקות, תת-יריעה, אימרסיה, סובמרסיה. שיכון יריעות לתוך מרחב אוקלידי.

 

דרישות קדם: אלגברה ליניארית 1 ו- 2, חדו''א 1.

 

 

 

םפרי לימוד:

J. L. Kelly. General topology, 1957.

Bourbaki N. Topologie generale, 1949.

W. Massey. A basic course in algebraic topology,  1991.

C. Kosniowski. A first course in algebraic topology, 1980.

J. Munkres. Topology, 1975. 

 
 
 Theory of Functions of a Complex Variable 1 

 

שדה המרוכבים, פונקציות מרוכבות, טורים ומכפלות אינסופיים, פונקציות אלמנטריות, גזירה, פונקציות הולומורפיות, משפטי קושי, טורי טיילור ולורן, אפסים ונקודות סינגולריות, משפטי רסידום ושימושים, עיקרון הארגומנט ומשפט רושה.

 

 
 
 Algebra B 1 

Groups, Lagrange's Theorem, Group actions, Quotient groups and Isomorphism Theorems, the Symmetric Group, Sylow's Theorems, Solvable groups, Finitely generated Abelian groups, Free groups.
חבורות, משפט לגראנז', פעולות של חבורות, חבורות מנה ומשפטי האיזומורפיזם, חבורות תמורות, משפטי סילו, חבורות פתירות, חבורות אבליות נוצרות סופית, חבורות חופשיות 

 
 
 Algebra B 2 

חוגים: הגדרות בסיסיות, אידאלים, משפטי האיזומורפיזם, תחום שלמות ושדה שברים, תחום פריקות חד-ערכית, תחום ראשי ותחום אוקלידי, קריטריונים לאי-פריקות של פולינומים.
שדות: הרחבות של שדה, שדות פצול, ספרביליות, האוטומורפיזמים של הרחבה, המשפט היסודי של תורת גלואה, שורשי יחידה, שדות סופיים, איברים פרימיטיביים, נורמה ועקבה, תורת גלואה של משוואות, פתרון של משוואות ע"י רדיקאלים, הסגור האלגברי של שדה, תלות אלגברית, הרחבה טרנסצנדנטית פשוטה, הרחבות ספרביליות ואי ספרביליות.

 

 

 

 

 
 
 Number Theory 

האלגוריתם של אוקלידס, מחלק משותף מקסימלי, יחידות פירוק לראשוניים, משוואות דיופנטיות לינאריות. קונגרואנציות, משפט השאריות הסיני, המשפט הקטן של פרמה, שרשים פרימיטיביים. קונגרואנציות ריבועיות, סימני לז'נדר ויעקובי, משפט ההדדיות הרבועית (ללא הוכחה) ושימושיו. משפט המספרים הראשוניים (ללא הוכחה) ושימושיו.  הצפנה במפתח פומבי (RSA), בדיקות ראשוניות.  אריתמטיקה של החוג של מספרים שלמים של גאוס וסכומי ריבועים.

 

 
 
 Calculus 3 

Calculus - 3

 

Prerequisites: Calculus-1, Calculus-2, Linear algebra-1, Linear algebra-2

 

Short syllabus:

 

1. Preliminaries:

 

Euclidean space.

 

2. Differentiation:

 

Differentiable maps. Inverse function theorem. Open mapping theorem and Lagrange multipliers. Implicit function theorem.

 

3. Integration:

 

Null sets. Multiple integrals. Fubini theorem. Change of variables.

Improper integrals.

1. מרחב אוקלידי
2. העתקות גזירות. משפט פונקציה הפוכה. משפט העתקה פתוחה. כופלי Lagrange, משפט פונקציה סתומה.
3. קבוצות זניחות. אינטגרל רימן. משפט פוביני. החלפת משתנים. אינטגרל לא אמיתי.

 
 
 Calculus 4 

 

Calculus - 4

 

Prerequisite: Calculus-3

 

Short syllabus:

 

1. Integration over manifolds in R^n:

 

Smooth manifolds in R^n, and their tangent spaces.

Integration over manifolds.

 

2. Divergence theorem:

 

Vector fields. Divergence theorem and its applications (Green's formulas, harmonic functions in R^n).

 

3. Line integrals:

 

Linear differential forms. Line integrals. Green's theorem and its application.

 

1. יריעות במרחב אוקלידי. מרחב משיק. אינטגרל ביריעה.

2. שדות וקטוריים. משפט דיווירגנץ ויישומיו (נוסחאות גרין פונקציות הרמוניות).

3. תבניות דיפרנציאליות. אנטגרל לאורך המסילה. משפט גרין ויישומיו.

 

 
 
 Logic 

תחשיב פסוקים, תחשיב הפרדיקטים ומשפט השלמות, יסודות תורת המודלים, משפט אי-השלמות.

 

0366219401 Logic.

Propositional Calculus. Compactness Theorem. Predicate Calculus. Formula. Struc-

ture. Henkin extensions. Compactness Theorem for First Order Logic. Loewenheim-Skolem

Theorem. Nonstandard Models of Arithmetic. Formal deduction. Goedel's Completeness

Theorem. Elementary substructures. Loewenheim-Skolem-Tarski Theorem. Goedel's In-

completeness Theorems. Tarski's Unde¯nability of Truth Theorem. Ultraproducts. Los

Theorem. Compactness via ultraproducts.

 

 
 
 Differential Geometry 

יסודות של תורת עקומות. עקומות מישוריות עקומות במרחב. נוסחאות Frenet. חבורת טרנספורמציות אורתוגונליות. משטחים רגולריים, מטריקה. תבניות דיפרנציאליות הראשונה והשנייה. קווי עקמומיות על משטח. עקמומיות Gauss.משוואות דריבציה ומשפט Bonnet. משפט Gauss. גזירה קובריאנטית וקווים גיאודזיים. משוואות Euler-Lagrange. נוסחת Gauss-Bonnet. משטחים מינימליים.  משטחים של עקמומיות קבועה. משטחים עם פרמטריזציה קונפורמלית. הצגת Weierstrass. מרחבים טופולוגיים. יריעות חלקות והעתקות חלקות. טנזורים. שיכון יריעות חלקות לתוך מרחב אוקלידי. אגד משיק וקו-משיק, שדות וקטוריים.  טנזור מטרי. קשירות אפינית וגזירה קובריאנטית. עקמומיות ופיתול. קשירות רימנית (Levi-Civita). קווים גיאודזיים. דוגמאות: משטח Lobachevsky, מרחבים פסודו-אוקלידיים ויישומם בפיסיקה.

 
 
 Physics for Mathematicians 

קינמטיקה, מערכות ייחוס, חוקי ניוטון, תנע קווי ושימורו, תנע זוויתי ושימורו, עבודה, אנרגיה ושימורה. קואורדינטות מוכללות, פעולה, לגרנג'יאן, עקרון המילטון, המילטוניאן, משפט ליוביל, משפט נתר, תנודות קטנות, כוח מרכזי, טרנספורמציות סיבוב, גופים קשיחים, טרנספורמציות קנוניות, סוגרי פואסון, משוואות המילטון-יעקובי. משוואות מקסוול, פוטנציאלים אלקטרומגנטיים, סימטריית כיול, כוח לורנץ, גלים אלקטרומגנטיים, משוואות פואסון ולפלס, נושאים ביחסות פרטית.

 
 
 Seminar in Applied Mathematics 
Seminar in spectral methods for data analysis 0366.3013
 
During the past decade, the amount of data that needs to stored,processed, and analyzed has grown very rapidly, to the point where it becomes impossible to organize it using traditional approaches.The most common example is probably the WWW, for which Google is anexcellent example of bringing order into this gigantic cloud ofinformation. Other examples for massive data collections includecommunication networks, biological data, and image and audiodatasets. All these datasets are inherently unstructured andhigh-dimensional. Nevertheless, to make any use of such data, wemust be able to perform tasks such as visualization, clustering,classification, and rankings.
In this seminar, we will survey recent mathematical approaches fordescription and analysis of high-dimensional datasets, with emphasison spectral methods. In particular, we will try to understand themathematical foundations of algorithms for the aforementioned tasks.
 
סמינר בשיטות ספקטראליות לעיבוד מידע 0366.3013
 
במהלך העשור האחרון, כמות המידע שיש לאחסן, לעבד, ולנתח, גדלה במהירות רבה, עד לנקודה בה נהיה בלתי אפשרי לארגנו בעזרת שיטות קיימות. הדוגמה הנפוצה ביותר לסוגיה זו היא רשת האינטרנט, שעבורה Google היא דוגמה מצוינת ליצירת סדר בענן המידע העצום. דוגמאות נוספות לאוספי נתונים גדולים כוללות רשתות תקשורת, מידע ביולוגי, ומאגרי תמונות ושמע. המשותף לכל אוספי הנתונים הללו הוא היותם חסרי מבנה ורב-ממדיים. ולמרות זאת, על מנת להשתמש במידע מסוגים אלה, עלינו להיות מסוגלים לבצע פעולות כגון ויזואליזציה, סיווג (classification), דירוג (ranking), ו-clustering.
בסמינר זה נסקור גישות מתמטיות חדשניות לתיאור וניתוח של מידע רב מימדי, בדגש על שיטות ספקטראליות. בפרט, ננסה להבין את הבסיס המתמטי של אלגוריתמים לביצוע הפעולות שצוינו לעיל.
 
 
 
 Partial Differential Equations 1 

 

               סילבוס לקורס מד"ח 1
 
מבוא
אפינים וסינגולריות: שיטת האפינים למשוואה מסדר ראשון, התפשטות של גלים והתפתחות של סינגולריות, משוואת הגלים במימד 1+1,  סיווג של משוואות וצורות קנוניות.
שיטות פוריה: פתרונות מערכיים והפרדת משתנים, טורי פוריה והתמרת פוריה, מוצגות היטב והתנהגות אסימפטוטית, מבוא למרחבי סובולב.
 פונקציות גרין: קונבולוציה, דיסטריבוציות, סמטריה, משוואת החום, משוואת לפלס ופאוסון, משוואת הגלים.
אנרגיה: עקרון המקסימום, שיטת אנרגיה.
 
     Syllabus for PDE 1
 
Introduction
Characteristics and singularities: method of characteristics for a first-order equation, wave propagation and development of singularities, wave equation in one spatial dimension, classification of PDEs and canonical forms.
Fourier methods: Exponential solutions and separation of variables, Fourier series and transforms, well-posedness and long-time behavior, introduction to Sobolev spaces.
Green's functions: Convolution, distributions, and symmetry, heat equation, Laplace and Poisson equations, wave equation.
Energy: Maximum principle, energy method.
 
 
 
 Introduction to Hilbert Spaces and Operator Theory 

מרחבים ליניאריים בעלי ממד אינסופי, מרחבי בנך והילברט.

 הגיאומטריה של מרחבי הילברט, הלמה של ריס למרחבי בנך.

 פונקציונאליים ליניאריים, משפט האן-בנך, התכנסות חלשה, עקרון החסימות במדה שוה.

 אופרטורים לינאריים, משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור למרחבי הילברט.

 אופרטור קומפקטי, תורת פרדהולם.

 התורה הספקטרלית של אופרטורים קומפקטיים צמודים לעצמם ושימושים למד"ר.

 מבוא למרחבי סובלב.

 

 

 
 
 Harmonic Analysis 

טורי פוריה: המערכת הטריגונומטרית ופיתוח פוריה. תנאים להתכנסות נקודתית והתכנסות במידה שווה של טור פוריה. מבחני Jordan ו- Dini. עיקרון הלוקליזציה. תופעת גיבס. גרעין Fejer והתכנסות הממוצעים. התכנסות ב- L2 (T). שלמות המערכת הטריגונומטרית. משפט Riesz-Fisher.

 

טרנספורם פוריה: טרנספורם פוריה ב- L2 (R). משפט פלנשרל וטרנספורם פוריה ב- L2 (R). משפט ההיפוך. נוסחת הסיכום של פואסון. 

 

שימושים למשוואות דיפרנציאליות

 

 
 
 Basic Combinatorics 

Combinatorics - Spring '12

Instructor: Dr. Asaf Shapira

 

Prerequisites to Combinatorics.First year courses in mathematics, most notably Discrete Mathematics or Introduction

Course Overview:

Mathematics or Computer Science. We will cover more advanced topics compared to the course

Introduction to Combinatorics and Graph Theory (0366.1123). The level of difficulty will be comparable

to that of Introduction to Graph Theory (0366.3267).

We will cover and touch upon a variety of topics in Combinatorics, like Ramsey Theory, Extremal

Graph Theory, Extremal Set Theory, the Partition Function and Enumerative Problems.

We will also encounter a variety of tools and techniques, like Generating Functions, the Probabilistic

Method and tools from Linear Algebra.

The course is intended for second and third year undergraduate students in

Suggested Reading

:



Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, by P. Cameron, 1994.



Invitation to Discrete Mathematics, by J. Matouˇsek and J. Neˇsetˇril (Second Edition), 2008.



(Second Edition), 2011.

How to Count: An Introduction to Combinatorics, by R.B.J.T. Allenby and A. Slomson




A Course in Combinatorics, by J.H. van Lint and R.M. Wilson (2nd


edition), 2001.
 
 
 Probability for Mathematicians 

יסודות ההסתברות המבוססת על תורת המידה: מרחבי הסתברות, מאורעות, משתנים מקריים, אי-תלות, תוחלת, שונות והתניות.
משפטים בסיסיים: הלמות של בורל קנטלי, החוק החזק של המספרים הגדולים, חוק - 0-1 של קולמוגורוב.
תורת המרטינגלים בזמן בדיד ושימושיהם.
התכנסות חלשה של מידות הסתברות ומשפט הגבול המרכזי.

ספר הקורס : David Williams, Probability with Martingales

 
 
 Analysis on Manifolds 

This is a course for undergraduate and graduate mathematics and physics students. Its purpose is to give an introduction to the theory of manifolds -- topological spaces which locally look as the usual Euclidean space but may have a complicated global shape. Manifolds play a basic role in modern mathematics and mathematical physics.

We will cover the following topics:

1) Manifolds (definition, examples, constructions).
2) Topological properties of manifolds and partition of unity.
3) Tangent space and the differential.
4) Immersions, submersions, and submanifolds.
5) Embedding and Whitney's theorem.
6) Vector fields and flows (Lie bracket & Lie derivative).
7) Orientation. 
8) Degree of a map (and applications: Brouwer fixed point, Borsuk-Ulam, the "hairy ball" theorem, etc.).
9) Differential forms.
10) Integration on manifolds (Stokes theorem).
11) de Rham cohomology.
If time permits:
12) Vector bundles, parallel transport, connection and covariant differentiation, curvature.

 

 

 

 

 

 
 
 Representations of Finite Groups 

הצגה אי-פריקה, תת-הצגה, הצגת מנה,  הצגה מושרה, הצגה דואלית, הצגה אוניטרית, מכפלה טנזורית של הצגות, כרקטר של הצגה, פירוק ז'ורדן-הלדר של הצגה ממימד סופי, הומומורפיזם של הצגות, פירוק לסכום ישר של תת-הצגות, יחידות הפירוק, הלמה של שור, מרכיבים איזוטיפיים של הצגה, תיאור אלגברת ההומומורפיזמים של הצגה ממימד סופי כסכום ישר של אלגבראות מטריצות, משפט ברנסייד,  מקדמים מטריציוניים של הצגה,  אי תלות של כרקטרים אי-פריקים,  תיאור ההצגות האי-פריקות של מכפלה קרטזית של חבורות, יחסי האורתוגונליות של שור לחבורה סופית, הפירוק של ההצגה הרגולרית של חבורה סופית, הדדיות פרובניוס, קריטריון אי-פריקות של הצגה מושרה, ההצגות האי-פריקות של חבורה סופית שהיא מכפלה חצי ישרה של חבורה וחבורה אבלית נורמלית, אלגברת החבורה של חבורה סופית, האיזומורפיזם שלה לסכום ישר של אלגבראות מטריצות, המרכז של אלגברת החבורה, תכונות שלמות של כרקטרים, המימד של הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה, הצגות ממשיות, משפט פרובניוס-שור בדבר הצגה אי-פריקה השומרת תבנית סימטרית.

 

נושאים נוספים: הצגות של חבורה קומפקטית (למשל,  החבורה האורתוגונלית בשלושה משתנים), הצגות של חבורת התמורות, הצגות של (2)GL מעל שדה סופי.

 

 

 

 

 

 
 
 Set Theory 

שוויון עוצמות, משפט קנטור-ברנשטיין. קבוצות בנות-מניה, קבוצת החזקה, סדרים קוויים, משפט האיזומורפיזם של קנטור. בניית המספרים הממשיים, חתכי דדקינד, משפט היחידות. אריתמטיקה של עוצמות, עוצמת הרצף. קבוצות סדורות היטב, משפט האיזומורפיזם. מספרים סודרים, אכסיומת ההחלפה, אינדוקציה טרנספיניטית, אריתמטיקה של מספרים סודרים, מספרים מונים, חיבור וכפל שלהם. אכסיומת הבחירה, שקילות בינה, בין משפט הסדר הטוב, ובין הלמה של צורן. יישומים של אכסיומות הבחירה. קבוצות של מספרים ממשיים. עוצמה של קבוצה מושלמת, משפט קנטור-בנדיקסון, קבוצות בורל. אריתמטיקה של מספרים מונים, סכומים ומכפלות אינסופיים. משפט קניג. קו-פינליות של מספרים מונים. מספרים מונים סדירים וחריגים. חזקות של מספרים מונים. השערת הרצף. קבוצות חלקיות סגורות ולא חסומות, קבוצות שבת, הלמה של פודור. מערכות דלתה. אידיאלים ומסננים. בעיית המידה, משפט אולם (Ulam). השערת המונים החריגים, משפט Silver.

 

K. Hrbacek and T. Jech: Introduction to Set Theory.

 

 

 

ספר מומלץ:

 

 

 

 

0366312601 Set Theory.

Cardinality of a set. Cantor-Bernstein Theorem. Countable sets. Sets of intergers,

rationals, algebraic numbers. Linear orderings, uniqueness of reals. Uncountable sets. The

cardinality of the Continuum. Well-Ordered Sets. Ordinal Numbers. Trans¯nite Induction.

Ordinal Arithmetic. Alephs. The Axiom of Choice. Cardinals Arithmetic. Konig's Theorem.

Regular and Singular Cardinals. Sets of reals. Cantor -Bendickson Theorem. Borel Sets.

Filters and Ultra¯lters. Closed Unbounded and Stationary sets. Fodor's Lemma. Splitting

of a stationary set. Delta Systems. The Measure Problem. Ulam's Theorem. Real valued

measurable cardinals. Measurable cardinals. Normal ultra¯lters. Silver's Theorem.

1

 

 
 
 Theory of Functions of a Complex Variable 2 
Gamma-function. Stirling formula in the complex plane.

Riemann zeta-function: analytic continuation and functional
equation. Prime number theorem.

Elliptic functions.

Harmonic functions. Poisson-Jensen formula and its applications.

Entire and meromorphic functions. Theorems of Bloch and Picard.

Entire functions of finite order, Hadamard factorization theorem.

Biholomorphic mappings of plane domains. Riemann mapping theorem.
Boundary behaviour of conformal mappings.

Analytic functions of several variables. Hartogs-Osgood removable
singularity theorem.

 
 
 
 Seminar in Probability Theory 
בסמינר זה נדון בשאלה הבאה: מהו האורך של תת-הסדרה העולה הארוכה ביותר של פרמוטציה מקרית?
שאלה זו, הנראית תמימה במבט ראשון, העסיקה מתמטיקאים רבים במשך 50 השנים האחרונות והגיעה לפתרון שלם רק בעשור האחרון. השאלה לקוחה מתחום הקומבינטוריקה, או ההסתברות הבדידה, אך מסתבר שיש לה קשרים לתחומים רבים אחרים במתמטיקה כגון אלגברה (תורת ההצגות של החבורה הסימטרית), אנליזה (פונקציות מיוחדות, בעיות וריאציה) ומשוואות דיפרנציאליות (משוואות פנלווה). בסמינר נכיר את הבעיה ונלמד את התוצאות שהוכחו לגביה לאורך השנים, ותוך כדי נווכח בקשרים של הבעיה עם התחומים האחרים.

ספר הסמינר:
הסמינר מבוסס על פרקים 1 ו-2 של הספר החדש של דן רומיק,
The surprising mathematics of longest increasing subsequences
הספר זמין לקריאה באופן חופשי באתר המחבר:
https://www.math.ucdavis.edu/~romik/lisbook/



דרישות קדם:
מומלץ כרקע אחד מהקורסים הסתברות למדעים או הסתברות למתמטיקאים. הקורסים מבוא להסתברות, אלגברה לינארית 2 וחדו"א 3 הם ידע מוקדם נדרש (את חדו"א 3 אפשר במקביל). קהל היעד העיקרי הם סטודנטים בשנה ג' (ומעלה).

מהלך הסמינר:
במהלך הסמינר כל סטודנט ירצה על נושא או שניים מספר הסמינר. לפני הרצאתו יפגש הסטודנט עם המרצה לצורך קבלת הערות על הרצאתו. אם יהיו מעט משתתפים יתכן וחלק מהסטודנטים יתבקשו להרצות פעמיים. ההרצאה הראשונה תנתן על ידי המרצה.

 
 
 Graph Theory 

מושגים בסיסיים, עצים, קשירות ומשפט מנגר, מעגלי אוילר והמילטון, זיווגים, משפטי הול וטט, צביעות, משפטי ברוקס וויזינג, קבוצות בלתי תלויות וקליקות, משפט טורן, משפט רמזי, גרפים מישוריים. הקורס יינתן בשפה האנגלית

 
 
 Algebra B 3 
חוגים והומומורפיזמים שלהם, אידיאלים. חוג חילופי, אידיאל ראשוני, תחום שלמות. התחלקות בתחום ראשי ובתחום אוקלידי. מודולים והומומורפיזמים שלהם. מודולים מעל תחום ראשי, צורה נורמלית של Jordan של מטריצה. מיקום של חוגים ומודולים, שדה מנות. המושגים של קטגוריה ופונקטור. מכפלה טנזורית, הרחבת סקלרים. סדרה מדוייקת ופונקטור מדוייק. מודולים שטוחים ופרוייקטיביים. האלגבראות הטנזורית, הסימטרית והחיצונית של מודול. חוג נתרי, משפט הבסיס של Hilbert. הפירוק הפרימרי של חוג. הרחבות שלמות של חוגים. למה של Nakayama. הרחבות של הומומורפיזמים. השלמה של חוג ומודול ביחס לאידיאל. חוגים ומודולים מדורגים, למה של Artin-Riesz. הרחבות טרנסצנדנטיות של שדות. משפט האפסים (Nullstellensatz) של Hilbert. משפט Noether. יריעה אלגברית אפינית. ספקטר ראשוני של חוג.
 
 
 Calculus of Variations 
דוגמאות, פונקציונלים, אילוצים, וואריאציה ראשונה, משוואת Euler-Lagrange, אקסטרמאל,
כופלי Lagrange .
וואריאציה שניה, שדה של אקסטרמאלים, תנאים מספיקים למינימום,
 משוואת Jacobi, דואליות,   תורת   Hamilton-Jacobi. בחירה של נושאים מבין: 
 מרחבים של פונקציות ותלות של הערך המינימלי במרחב
 שיטות ישירות להוכחת קיום של ערך מינימלי 
 בקרה אופטימלי וערקון המקסימים של Pontryagin
 שימושים בעיבוד תמונה 
 
 
 Undergraduate Seminar in Combinatorics 
בתאום עם מרצה במפגש הראשון
 
 
 Algebraic Number Theory 1 

בקורס זה נלמד את המושגים הבסיסיים בתורת המספרים האלגברית: חוגי דדקינד, חוגי שלמים, חבורות פירוק ואינרציה. נוכיח את משפט היחידות של דיריכלה ואת נוסחאת חבורת המחלקות. 

 
 
 Seminar in Geometry and Dynamics 

סמינר בגאומטריה ודינמיקה

(Seminar in Geometry and Dynamics)

 

מ”ס קורס: 0366-4093-01

 

The syllabus is decided by the organizers on the first meeting of the seminar.

 
 
 Research Seminar in Analysis 2 
המשך מסמ' באנליזה 1
 
 
 Profinite Groups 

גבולות הפוכים; חבורות פרוסופיות, חבורות חפשיות ופרויקטיביות. חבורות סילוב. חבורת גלואה המוחלטת של שדה. 
חבורות קוהומולוגיה והעתקות ביניהן. 
מימד קוהומולוגי של חבורה פרוסופית; חישובו עבור חבורות גלואה מסוימות. 
הרחבות של חבורות. חבורות בראואר. סדרות ספקטרליות.

 
 
 Probabilistic Methoods in Combinatorics 

  Probabilistic Methods in Combinatorics: 0366.4913.01

 

 

 

Course syllabus:

 

 

 

Probabilistic methods in Combinatorics and their applications in theoretical Computer Science. The topics include linearity of expectation, the second moment method, the local lemma, correlation inequalities, martingales, large deviation inequalities, geometry, derandomization.

 
 
 Introduction to modular forms 

פונקציות אליפטיות ביחס לסריג L במישור המרוכב, פונקצית-P של וויירשטראס ביחס ל-L, טורי אייזנשטיין, הדיסקרימיננט והאינווריאנט המודלרי המתאימים ל-L; החבורה המודולרית תת חבורות קונגרואנציה ופעולותיהן על חצי המישור העליון, תחום יסוד לפעולה, נקודות אליפטיות, נקודות חוד, משטח רימן המתאים והקומפקטיפיקציה שלו; תבניות מודולריות, תבניות חוד (דוגמאות: טורי איזנשטיין,הדיסקרימיננט, האינווריאנט המודולרי, פונקציית אתא של דדקינד ופיתוחי פורייה שלהן), הכפלה בכרקטר דיריכלה; מרחב בתבניות המודולריות ממשקל נתון, מרחב הילברט של תבניות החוד ממשקל נתון, המכפלה הפנימית של פיטרסון; טור-L ופונקציית-L המתאימים לתבנית חוד, המשכה אנליטית ומשוואה פונקציונלית; האופרטורים של Hecke, תבניות חוד עצמיות ביחס לאופרטורים של Hecke, פיתוח פונקציות-L למכפלות אוילר.

 

 

 
 
 Algebraic Geometry 1 
מבוא לגיאומטריה אלגברית. יריעות אפיניות. טופולוגית Zariskiץ משפט האפסים של Hilbert. פונקציות ומורפיזמים. יריעות פרויקטיביות. מימד. סכמות. פולינים Hilbert. משפט Bezout. נוסחת Riemann-Hurwitz. משפט Riemann-Roch. קוהומולוגית אלומות. משפט Riemann-Roch קוהומולוגי. תורת חיתוכים. חבורות Chow. מחלקי Weil ו-Cartier. מחלקות אופייניות. מחלקות Segre ו-Cherm של אגדים פרויקטיביים. משפט Hirzebruch-Riemann-Roch. דרישות מוקדמות: אלגברה ליניארית 1, 2, אלבגרה ב-1, 2, 3. ספרי לימוד: 1. M. Atiyah, I. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley (1969). 2. D. Eisenbud, J. Harris, The geometry of schemes, Springer Graduate Texts in Mathematics 197 (2000). 3. R. Hartshorne, Algebraic geometry, Springer Graduate Texts in Mathematics 52 (1977). 4. I. Shafarevich, Basic algebraic geometry, Springer Study Edition (1977).
 
 
 Seminar On Toric Varieties 
  1. פאונים קמורים ויריעות טוריות: חרוטים פולוהדרליים קמורים. יריעות טוריות אפיניות. פאנים ויריעות טוריות. יריעות טוריות הנבנות מפאונים.
  2. סינגולריות וקומפקטיות: תכונות מקומיות של יריעות טוריות. משטחים, סינגולריות-מנה. תתי-חבורות חד-פרמטריות, נקודות גבול. קומפקטיות ותקינות. משטחים אי-סינגולריים. פתירת סינגולריות.
  3. מסלולים, טופולוגיה ואגדים קוויים: מסלולים. חבורות יסודיות ואפיין   Euler. דיביזורים. אגדים קוויים. קוהומולוגיה של אגדים קוויים.
  4. העתקת תנופה ואגד משיק: יריעות עם פינות סינגולריות. העתקת תנופה. דיפרנציאלים ואגד משיק. דואליות Serre. מספרי Betti.
  5. תורת החיתוכים: חבורות Chow. קוהומולוגיה של יריעות טוריות אי-סינגולריות. משפט Riemann-Roch. נפח מעורב. משפט Bézout.

 

 

דרישות מוקדמות: אלגברה ב-3, גיאומטריה אלגברית 1.

 

 
 
 Advanced Seminar in Game Theory 

הסמינר הינו בתחום משחקים לא שיתופיים, ויעסוק ביריעת שיווי המשקל והטופולוגיה שלה. נראה כי יריעת שיווי המשקל הומיאומורפית למרחב המשחקים, כי באופן גנרי במשחק יש מספר אי זוגי של שיוויי משקל, וכי ניתן לקרב את היריעה בצורה אוניפורמית על ידי יריעה חלקה. לאחר מכן נצלול לתוך תכונות נוספות של היריעה, ביניהן נראה כי כל קבוצה סמי-אלגברית סגורה היא הטלה של קבוצת שיוויי המשקל של משחק כלשהו.

 
 
 Horowitz Seminar On Probability, Ergodic Theory and Dynamics 

סמינר המחקר המחלקתי בתורת ההסתברות, תורה ארגודית ומערכות דינמיות.

 
 
 Research Seminar in Field Arithmetic 

נמשיך את לימוד קוהומולוגיה אטלית עם מבט לשימושים בתורת המספרים ובפרט להשערת וייל. 

 
 
 Algebraic Geometry 2 
  1. תורת אלומות: בנית אלומות. אלומות קוואזי-קוהרנטיות. אלומות חופשיות מקומית. דיפרנציאלים. אגדים קויים על עקומות. נוסחת Riemann-Hurwitz. משפט Riemann-Roch.
  2. קוהומולוגיה של אלומות: הגדרה. סדרה קוהומולוגית ארוכה. משפט Riemann-Roch קוהומולוגי. קוהומולוגית אגדים קויים על מרחבים פרויקטיביים. אי-תלות בבחירת כיסוי אפיני.
  3. תורת חיתוכים: חבורות Chow. דחיפה קדימה של ציקלוסים. מחלקי Weil ו-Cartier. חיתוך עם מחלק Cartier.
  4. מחלקות Chern: אגדים פרויקטיביים. מחלקות Segre ו-Chern של אגדים   פרויקטיביים. תכונות של מחלקות Chern. משפט Hirzebruch-Riemann-Roch.
 
 
 C* Algebras 

אלגברות *-C

אלגברות בנך, הצגת גלפנד, אלגברות *-C, המשפט הספקטרלי, אידאלים

הצגת גלפנד-ניימרק, מצבים טהורים, משפט טרנסיטיביות, תורת K_0 של אלגברות AF

 
 
 Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus 

בקורס נעקוב אחרי חלקים נבחרים מספרו של Le Gall על נושאי הקורס
https://www.amazon.com/Brownian-Martingales-Stochastic-Calculus-Mathematics/dp/3319310887

בין הנושאים שידונו: תהליכים גאוסיינים, רעש לבן, תנועת בראון ותכונותיה הבסיסיות, מרטינגלים בזמן רציף ותכונותיהם, אינטגרלים סטוכסטיים (אינטגרל איטו) ביחס למרטינגלים רציפים וסמי-מרטינגלים.

אם הזמן יאפשר, נדבר בקצרה גם על תכונות נוספות של תנועת בראון כגון נשנות וחולפות, אינוריאנטיות תחת טרנספורמציות קונפורמיות, הקשר בין תנועת בראון למשוואות דיפרנציאליות חלקיות ומשוואות דיפרנציאלות סטוכסטיות.

תנועת בראון וחשבון סטוכסטי מהווים נושאים קלאסיים בהסתברות אשר מצאו שימושים רבים במתמטיקה, פיזיקה, הנדסה, כלכלה ותחומים נוספים. עקב אילוצי הזמן, לא נדון ביישומים מעבר לנושאים שהוזכרו למעלה אך הידע התאורטי הנרכש בקורס מהווה נקודת התחלה ממנה הסטודנט המעוניין יוכל ללמוד עוד על יישומים אלה.

דרישות הקדם לקורס הן:
הסתברות למתמטיקאים ופונקציות מרוכבות.

הקורס יכול להתאים גם לתלמידי תואר ראשון מתקדמים אשר עומדים בדרישות הקדם.

 

 
 
 Topics in Combinatorial Group Theory 

תורת החבורות הקומבינטורית היא שם כולל למגוון נושאים בתורת החבורות האינסופיות, שיש בהם שאלות ו/או כלים עם גוון קומבינטורי. נלמד את מרבית הנושאים הבאים (התוכן המדויק יקבע במהלך הקורס):

1. בסיס התחום: הצגת חבורות כיוצרים ויחסים, ומספר שאלות בסיסיות כמו בעיות המילה, הצמידות והאיזומורפיזם.

2. חבורות חופשיות: גרפי ליבה, משפט נילסן-שרייר, חבורת האוטומורפיזם של חבורה חופשית, איברים פרימיטיביים, משפט וייטהד ועוד

3. תורת Basse-Serre: פעולות של חבורות על עצים, מכפלות ממוזגות והרחבות HNN

4. חבורות צמצומים קטנים (Small cancelation)

נושאים אפשריים נוספים: גידול של חבורות, אמניבליות של חבורות דיסקרטיות, השערת האנה-נוימן ופתרונה, חבורות באומסלג-סוליטר

 
 
 Algebraic Number Theory 2 

קורס זה הוא קורס המשך של הקורס מסמסטר א׳. כמה נושאים בהם נתמקד: משפט הצפיפות של צ׳בוטרב ושימושיו כגון משפט אי הפריקות של הילברט ובעית גלואה ההפוכה; תורת המספרים בשדות פונקציות; התורה הלוקלית.  

 
 
 Topics in Variational Calculus 

הנושאים האפשריים עבור ההרצאות בסמינר הם: 

1. מבוא לחשבון וריאציות: משוואת אויילר-לגרנז׳, תורת המילטון-יעקובי, משפט נתר וחוקי שימור, וריאציה השניה, תנאים לאקסטרמום חלש וחזק, תורת השדות.

2. שיטות ישירות בחשבון וריאציות ושימושיהם בתחומים כמו אנליזה הרמונית, תורת  הפונקציות המרוכבות, גיאומטריה רימאנית וגיאומטריה סימפלקטית.

 

קורסי דרישות קדם: חדו״א 4, מד״ר 

 
 
 Modern Topics in Probability 

מעבר פאזה הוא שם כללי לתופעה פיזיקלית בה שינוי קטן בפרמטר חיצוני, כגון טמפרטורה או לחץ, גורם לשינוי דרמטי בתכונות המאקרוסקופיות של החומר (למשל, מים מתאדים ב-100 מעלות צלסיוס). בתחילת המאה העשרים, מספר מדענים (כולל חתני פרס נובל פאולינג ופלורי) חקרו את התופעה הזאת בעזרת מודלים על סריגים (lattice models): החומר ממודל על ידי אוסף חלקיקים על סריג אשר יכולים להיות במספר מצבים שונים, כאשר המצב של כל חלקיק מושפע, באופן הסתברותי, מהמצב של שכניו. למרות הפישוט שבתיאור זה, מודלים על סריגים מהווים תחום מחקר פורה ומועיל. מאז פריצת הדרך של שרם בשנת 2000, הגישה ההסתברותית למודלים הללו הובילה לפריחה של תובנות חדשות, כולל שתי מדליות פילדס שהוענקו לסמירנוב וורנר.


מטרת הקורס היא להציג גישה מודרנית לתורה ההסתברותית של מודלים על סריגים, עם דגש על המודלים הבסיסיים ביותר - מודל הפרקולציה (percolation) ומודל איזינג (Ising). בחלק האחרון של הקורס, נשתמש בטכניקות שהוצגו בחלקים המוקדמים בשביל להוכיח תוצאות חדשות על פונקציות ליפשיץ מקריות.


למודלים דו-מימדיים יש מקום מיוחד בתחום זה: כשמכוונים את הפרמטרים כיאות, הגאומטריה של המודל נהיית פרקטלית. אחת ההשערות המרכזיות בתחום היא שלמודלים דו-ממדיים רבים יש גבול רצף אינוריאנטי להעתקות קונפורמיות (conformal invariance). השערה זו מוכחת מתמטית רק במקרים מעטים - בקורס נציג את ההוכחה של סמירנוב שפרקולציה קריטית על הסריג המשולשי אכן מקיימת את ההשערה.

דרישות קדם: הקורס מבוא להסתברות.

ההרצאות תהיינה באנגלית.