|
שנה"ל תשע"א | |||||||||
| 0366-1101 |
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 1א CALCULUS 1A |
||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
1. מספרים ממשיים. סופרמום. קבוצות בנות מנייה.
2. סדרות. התכנסות והתבדרות. סדרות חסומות. תתי-סדרות
מתכנסת. גבולות תחתונים ועליונים. סדרות קושי. טורים אינסופיים.
התכנסות בהחלט.
3. פונקציות של משתנה ממשי. גבולות של פונקציות. רציפות.
משפט ערך הביניים. משפט ויירשטראס לגבי מקסימום של פונקציה.
רציפות במידה שווה.
4. הנגזרת. נגזרות מסדר גבוה. משפטי ערך ממוצע. כלל לופיטל. קמירות.
5. פולינומי טיילור עם שארית. פיתוח לטור חזקות של פונקציות אלמנטריות.
| |||||||||
| 0366-1102 |
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2א CALCULUS 2A |
||||||||
|
1. אינטגרל רימן, הגדרה ותכונות בסיסיות. המשפט היסודי
של החשבון הדיפרנציאלי ואינטגרלי (משפט ניוטון-ליבניץ). אינטגרציה בחלקים. החלפת
משתנים. אינטגרל בלתי מסויים. אורך של עקום.
2. התכנסות במידה שווה של סדרות וטורי פונקציות. רציפות הגבול.
משפט התכנסות במידה שווה עבור האינטגרל. משפט השוואה להתכנסות
טורים במידה שווה (M-בוחן). משפט ויירשטראס על קירוב במידה שווה ע"י פולינומים.
3. טורים מרוכבים. הכפלת טורים. רדיוס התכנסות של טורי חזקות.
קריטריון אבל-דיריכלה להתכנסות. משפט אבל על רציפות טורי חזקות.
4. טור פורייה. הלמה של רימן-לבג. גרעין דיריכלה, גרעין פייר. התכנסות
של טורי פורייה. משפט פייר, התכנסות בממוצע. נוסחת פרסבל.
5. מרחבים סוף-מימדיים. קבוצות פתוחות וסגורות. התכנסות.
פונקציות רציפות.
6. דיפרנציאביליות. נגזרות חלקיות. כלל השרשרת. נגזרות כיווניות,
גרדיאנט, קווי גובה. נגזרות חלקיות רציפות ודיפרנציאביליות. תכונת
ערך הביניים.
7. נגזרות חלקיות מסדר גבוה. משפט הנגזרות המעורבות. פולינומי טיילור.
מיון נקודות סטציונריות.
| |||||||||
| 0366-1105 |
מבוא לתורת הקבוצות INTRODUCTION TO SET THEORY |
||||||||
|
פעולות בסיסיות בקבוצות, עצמות, קבוצות בנות מניה, משפט קנטור ברנשטיין, קבוצות מעצמת הרצף, חשבון מונים, אקסיומת הבחירה והלמה של צורן.
| |||||||||
| 0366-1106 |
מבוא כללי למדעי המחשב INTRO. TO COMPUTER SCIENCE |
||||||||
|
מושג האלגוריתם. נכונות ויעילות של אלגוריתם. יצוג אלגוריתם כתכנית בשפת תכנות עילית. לימוד יסודי של כתיבת תכניות בשפת C על כל מרכיביה, תוך דגש על תכנות מבני ותיכון מלמעלה למטה. | |||||||||
| 0366-1111 |
אלגברה לינארית 1א LINEAR ALGEBRA 1A |
||||||||
אלגברה לינארית 1אמערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות. מרחב דואלי ודואלי שני, בסיס דואלי. מרחב מחפלה פנימית: משלים אורתוגונלי, בסיס אורתונורמלי, אלגוריתם של גרם-שמיט, אי-שיוויון קושי-שוורץ, העתקות ומטריצות אורתוגונליות.
| |||||||||
| 0366-1112 |
אלגברה לינארית 2א LINEAR ALGEBRA 2A |
||||||||
|
חוג, פולינומים, פולינומים מעל מטריצות, סדרות וטורים של מטריצות, (exp(A, לכסון, שילוש, משפט Cayley-Hamilton, משפט Jordan, שימושים למשוואות דיפרנציאליות, מרחבים בעלי מכפלה סקלרית, תבניות בילינאריות.
| |||||||||
| 0366-1119 |
אלגברה לינארית 1ב LINEAR ALGEBRA 1B |
||||||||
|
מספרים מרוכבים, פתרון משוואות לינאריות, דטרמיננטים, נוסחת קרמר. מרחבים וקטוריים מעל שדה הממשיים והמרוכבים, בסיס ומימד, העתקות לינאריות ומטריצות, גרעין, טווח, מימד הטווח ודרגה של מטריצה, הרכבה של אופרטורים וכפל-מטריצות, החלפת בסיסים בתחום ובטווח. אופרטורים ממרחב לעצמו ומטריצות, תלות בבחירת הבסיס. מכפלה סקלרית ונצבות. אי-שיוויון שוורץ, ערך מוחלט של וקטור, אי-שיוויון המשולש. בסיס אורתונורמלי, היטל אורתוגינלי, תהליך גראם-שמידט.
| |||||||||
| 0366-1120 |
אלגברה לינארית 2ב INTRODUCTION TO ALGEBRA 2B |
||||||||
|
פירוק פולינומים, ריבוי של שורש, אידיאלים, מחלק משותף מקסימלי, האלגוריתמוס של אוקלידס, המשפט היסודי של האלגברה, משפט Bezout, פירוק פולינומים עם מקדמים מרוכבים. דמיון של מטריצות. ערכים וקטוריים עצמיים, פולינום אופייני של מטריצה, ערכים עצמיים של פונקציה של מטריצה. ריבוי גיאומטרי ואלגברי של ערך עצמי. לכסון מטריצות על-ידי דמיון, הצורה הקנונית של ז'ורדן, משפט מיון (ללא הוכחה), משפט Cayley‑Hamilton. עקבה של מטריצה ותכונותיה, הקשר בין פולינום אופייני, דטרמיננט ועקבה. מרחבי מכפלה פנימית מעל הממשיים והמרוכבים, מטריצה צמודה ואופרטור צמוד, אופרטור צמוד לעצמו, מטריצות הרמיטיות וסימטריות. משפט ספקטרלי, מטריצות אוניטריות ואורתוגונליות. מיון שניוניות במישור ובמרחב. יישומים: (נושאים לבחירה) שיטת הריבועים הפחותים, מנת ריילי, שיטת המינימקס, משפט הפרדה של ערכים עצמיים, אופרטור חיובי, תנאי חיוביות של מטריצה סימטרית. משוואת הפרשים, סדרת פיבונצ'י, תנאים לקיום הגבול L = limn®¥ Mn. שרשרות מרקוב, מטריצת מעבר, קיום ויחידות של מצב יציב. מבוא לתורת החבורות: תת-חבורות, משפט לגרנז'.
| |||||||||
| 0366-1121 |
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 1ב CALCULUS 1B |
||||||||
|
מושגים בסיסיים וסימונים - הקבוצה והפונקציה, סדרות ממשיות, מושג הגבול, טורים וחסמים, פונקציות רציפות (ממשיות במשתנה ממשי), מקסימום ומינימום, המספר הנגזר, פונקציות גזירות, משפט ערך הביניים. כללי גזירה, פולינומים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים, מקסימום ומינימום של פונקציות גזירות, נקודות פתול, נגזרת שניה ופונקציות קמורות וקעורות, האינטגרל המסוים, הפונקציה הקדומה והקשר ביניהם, פונקציות ממשיות של שניים או יותר משתנים ממשיים, רציפות נגזרות חלקיות ונגזרות כווניות ומושג הדיפרנציאל.
| |||||||||
| 0366-1122 |
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2ב CALCULUS 2B |
||||||||
|
חשבון דיפרנציאלי במספר משתנים: פונקציות של מספר משתנים, נגזרות חלקיות, דיפרנציאל שלם, כלל השרשרת, טור טיילור ב- 2 משתנים, יעקוביאנים, ערכים קיצוניים, כפל לגרנג', קואורדינטות קוטביות, חשבון אינטגרלי במספר משתנים, אינטגרלים כפולים ומשולשים בקואורדינטות קרטזיות, שינויי משתני אינטגרציה ע"י שימוש ביעקוביאנים (דוגמאות בחישוב שטחים, נפחים, מסה, בקואורדינטות קרטזיות, פולריות וגליליות), אינטגרלים קווים, משפט גרין, תלות האינטגרל במסלול, משפט גאוס (במישור) אינטגרלים משטחיים. אנליזה וקטורית: שדה סקלרי ווקטורי, האופרטורים: גרדינט, דיברגנץ ורוטור, משפט גאוס וסטוקס.
| |||||||||
| 0366-1123 |
מבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים INTRODUCTION TO COMBINATORICS AND GRAPH THEORY |
||||||||
|
0366-1123 INTRODUCTION TO COMBINATORICS AND GRAPH THEORY Syllabus טכניקות מניה אלמנטריות, עקרון ההכלה וההדחה, מקדמים בינומיים, פונקציות יוצרות, Elementary Counting techniques, Inclusion-Exclusion, Binomial coefficients, Generating functions, Recurrence equations, Basic concepts in Graph Theory | |||||||||
| 0366-1124 |
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 1ג CALCULUS 1C |
||||||||
|
סמסטר א
פונקציה ממשית של משתנה ממשי; תחום הגדרה; גבול, רציפות; נגזרת; נגזרת כשעור השינוי וכשיפוע, נגזרות גבוהות יותר; התנהגות מקומית של פונקציה הנקבעת על-ידי ערכי נגזרותיה בנקודה. כללי גזירה; נגזרות של פונקציות פשוטות. פיתוח Taylor. דוגמאות ליישומים של נגזרות: מכסימום ומינימום. אינטגרל בלתי מסוים; טכניקות אינטגרציה. אינטגרל מסוים Riemann)); דוגמאות ליישומים של אינטגרלים: שטח במישור, אורך עקומה מישורית, שטח ונפח של משטח סיבוב, עבודה; משוואות דיפרנציאליות פשוטות
A real function of a real variable; domain of definition; limits, contiguous; derivatives; local behavior of a function; derivatives of simple functions, higher derivatives, Taylor's approximation. Examples of applications of derivatives, tangent: maximum and minimum.
Improper integral; integration techniques; Riemann integral; examples of applications of integrals: length, area and volume of the body of revolution.
Simple differential equations.
| |||||||||
| 0366-1125 |
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2ג CALCULUS 2C |
||||||||
|
סמסטר ב
פונקציה ממשית של n משתנים ממשיים; תחום הגדרה; פירוש גיאומטרי עבור n=2 ועבור כל n. גבול, רציפות. נגזרות חלקיות; דיפרנציאביליות, משוואת מישור משיק ונורמל למשטח עבור n=2. דיפרנציאל שלם; כלל השרשרת; נוסחת Taylor. נקודות סטציונריות עבור n=2 מכסימום, מינימום; נקודת אוכף.; יעקוביאן; נגזרות של פונקציות סתומות f(x,y)=O; מישור משיק למשטח f(x,y,z)=O; מכסימום ומינימום עם אילוצים: כופלי Lagrange; מציאת מכסימום/מינימום גלובליים בתחום.
גזירת אינטגרלים; אינטגרלים כפולים, שינוי משתנים , אינטגרלים משולשים, קואורדינאטות גליליות וכדוריות; אינטגרלים קוויים, האינטגרל של דיפרנציאל שלם.משפט גרין.
חשבון ווריאציות.
A real function of n real variables; domain of definition; geometric interpretation for n = 2, and for each n. Limit, Contiguous. Partial derivatives; differentiability, the equation for the plane tangent to the surface for n = 2; the chain rule; Taylor formula, stationarypoints for n = 2: maximum, minimum; saddle point, Jacobean. Full differential; derivatives of implicit functions f (x, y) = O; plane tangent to the surface f (x, y, z) = O; maximum and minimum with constraints: Lagrange multiplicators.
Derivatives from the integrals; 2-dimentional integral, change of variables; 3-dimentional integral; cylindrical and spherical coordinates; integrals over lines, the integral of a full differential. Green's theorem.
Variation calculation.
| |||||||||
| 0366-1823 |
קורס הכנה בפיסיקה PREPARATORY COURSE IN PHYSICS |
||||||||
|
מכניקה: קינמטיקה של נקודה, החוק השני של ניוטון, עבודה ואנרגיה, כוחות חיכוך, תנע, אוסצילטור הרמוני ורזוננס, כח מרכזי ותנועה סיבובית, חוקי קפלר.
| |||||||||
| 0366-2103 |
משוואות דיפרנציאליות רגילות 1 ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS 1 |
||||||||
|
משוואות מסדר ראשון לינאריות ולא לינאריות, שיטות אלמנטריות ומשפטי קיום ויחידות, פתרונות סינגולריים, משוואות מסדר גבוה יותר - משפטי קיום ויחידות, ורונסקיאן, שיטות פתרון, מערכות עם מקדמים קבועים ומשתנים, תורת שטורם-ליוביל עם מקדמים קבועים ומשתנים, טורי פוריה
| |||||||||
| 0366-2104 |
משוואות דיפרנציאליות רגילות 2 ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS 2 |
||||||||
|
מד"ר 2 בעיות שפה ופונקציות גרין: חלופת פרדהולם לבעיות שפה לינאריות, שיטות להוכחת יחידות, מבוא לטורי פוריה, פונקציות גרין, פיתוח בטור של פונקציות עצמיות.
נקודות סינגולריות: פיתוח פרובניוס סביב נקודה סינגולרית רגילה, קיום של פתרונות בסביבה של נקודה סינגולרית רגילה, מבוא לנקודה סינגולרית לא-רגילה.
מערכות דינמיות: מבוא, משוואות אוטונומיות ולא-אוטונומיות במימד אחד, מערכות דינמיות אוטונומיות במישור: פונקציות ליאפונוב ויציבות של נקודת שבת, משפט היריעה היציבה, משפט פאונקרה-בנדיקסון.
ODE 2
Boundary-value problems: Fredholm alternative for linear boundary-value problems, methods for proving uniqueness, introduction to Fourier series, Green's functions, expansion in eigenfunctions.
Singular points: Frobenius expansion near regular singular points, existence of solutions near regular singular points, introduction to irregular singular points.
Dynamical systems: Introduction, autonomous and non-autonomous single equations, dynamical systems in the plane: Lyapunov functions and stability of fixed points, stable manifold theorem, Poincaré-Bendixon Theorem.
| |||||||||
| 0366-2105 |
אנליזה נומרית 1 NUMERICAL ANALYSIS |
||||||||
|
אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. משפט ויירשטרס על קרוב פולינומיאלי, פולינומי ברנשטיין. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון, אינטרפולציה טריגונומטרית. הפרשים מחולקים, אנליזה פורמלית של הפרשים סופיים. אינטרפולצית הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית, הוכחת הרדוקציה של אינטרפולצית ניוטון להרמיט. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים והוכחת תכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי, הוכחת התכנסות במקרה הטריגונומטרי כאשר הפונקציה חלקה למקוטעין. קרוב המינימקס, איפיון וחישוב, פולינומי צ'בישב, האלגוריתם של רמז. משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, שיטת ניוטון-רפסון למערכת, קצב התכנסות, שיטת החזקה לערכים עצמיים. אקסטרפולציה. פונקציות ספליין: איפיון, חישוב ותכונות קרוב, B-splines.
| |||||||||
| 0366-2106 |
פונקציות ממשיות FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE |
||||||||
|
מידה חיצונית ומידה. מידת לבג על הישר הממשי. פונקציות מדידות. אינטגרל ביחס למידה, משפטי התכנסות. גזירות פונקציות מונוטוניות, פונקציות בעלות השתנות חסומה, פונקציות רציפות בהחלט. מידה על מרחב מכפלה. מרחבים של פונקציות אינטגרביליות.
ספרים מומלצים:
1. י' לינדנשטראוס, ב' וייס, א' פזי, מבוא לאנליזה מודרנית
H. L. Royden, Real Analysis2. .B. Folland, Real Analysis 3.
| |||||||||
| 0366-2115 |
טופולוגיה TOPOLOGY |
||||||||
|
טופולוגיה – 0366.2115.01
Topology 0366.2115.01 Aldo Lazar 1. Topological spaces, continuous functions, topological product, quotient spaces. 2. Connected and locally connected spaces. 3. Separation axioms, Urysohn's lemma, Tietze's extension theorem, Tychonoff's embedding theorem. 4. Nets, countability axioms, Urysohn's metrizability theorem. 5. Compact spaces, Tychonoff's product theorem, locally compact spaces, compactifications. 6. Complete metric spaces, compactness in metric spaces. 7. The fundamental group, Brouwer's fixed point theorem , the Jordan curve theorem. | |||||||||
| 0366-2132 |
אלגברה ב 1 ALGEBRA B 1 |
||||||||
|
Groups, Isomorphism Theorems, Lagrange's Theorem, Group actions, Sylow's Theorems, Finitely generated Abelian groups, Solvable groups, the Symmetric group, Free groups.
חבורות, משפטי איזומורפיזם, משפט לגראנז',פעולות של חבורות, משפטי סילוב, חבורות חלופיות נוצרות סופית, חבורות פתירות, חבורות סימטריות,חבורות חופשיות | |||||||||
| 0366-2133 |
אלגברה ב 2 ALGEBRA B 2 |
||||||||
|
הרחבות של שדה, שדות פצול, ספרביליות, האוטומורפיזמים של הרחבה, המשפט היסודי של תורת גלואה, שורשי יחידה, שדות סופיים, איברים פרימיטיביים, נורמה ועקבה, תורת גלואה של משוואות, פתרון של משוואות ע"י רדיקאלים, הסגור האלגברי של שדה, תלות אלגברית, הרחבה טרנסצנדנטית פשוטה, הרחבות ספרביליות ואי ספרביליות.
| |||||||||
| 0366-2140 |
תורת המספרים NUMBER THEORY |
||||||||
|
האלגוריתם של אוקלידס: מחלק משותף מקסימלי, יחידות פירוק לראשוניים, משוואות דיופנטיות לינאריות, שברים משולבים. קונגרואנציות, משפט השאריות הסיני, המשפט הקטן של פרמה, שרשים פרימיטיביים. קונגרואנציות ריבועיות, סימני לג'נדר ויעקובי, משפט ההדדיות הרבועית. קרובים רציונליים, משוואת Pell, משפט ליוביל על קרובים רציונליים למספרים אלגבריים.
נושאים נוספים שיכוסו ככל שהזמן יתיר: משפט המספרים הראשוניים (ללא הוכחה) ושימושיו, בדיקת ראשוניות, הצפנה במפתח פומבי (RSA), אריתמטיקה של הרחבות ריבועיות של רציונליים וסכומי ריבועים.
| |||||||||
| 0366-2141 |
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 3 CALCULUS 3 |
||||||||
|
1. העתקות דיפרנציאביליות. משפט הפונקציה ההפוכה.
כופלי לגרנז'. משפט הפונקציה הסתומה.
2.אינטגרלים מרובים. תכולה (נפח ז'ורדן). משפט פוביני.
משפט החלפת משתנים באינטגרל .אינטגרלים לא אמיתיים. 3. משטחים חלקים ממימד k במרחב n-מימדי. מרחב משיק.
תכולה ואינטגרלים על משטחים k מימדיים. אינטגרל
לאורך עקום, ואינטגרל ביחס לשטח פנים. אינטגרלים משטחיים.
4. שדות וקטוריים. משפט הדיברגנץ ב- n מימדים. אינטגרלים קוויים.
משפט גרין.
| |||||||||
| 0366-2219 |
גיאומטריה דיפרנציאלית DIFFERENTIAL GEOMETRY |
||||||||
|
(1) עקומות ומשטחים. יסודות של תורת עקומות. עקומות מישוריות עקומות במרחב. נוסחאות Frenet. חבורת טרנספורמציות אורתוגונליות. משטחים רגולריים, מטריקה. תבניות דיפרנציאליות הראשונה והשנייה. קווי עקמומיות על משטח. עקמומיות Gauss. משוואות דריבציה ומשפט Bonnet. משפט Gauss. גזירה קובריאנטית וקווים גיאודזיים. משוואות Euler-Lagrange. נוסחת Gauss-Bonnet. משטחים מינימליים. משטחים של עקמומיות קבועה. משטחים עם פרמטריזציה קונפורמלית. הצגצ Weierstrass. (2) גיאומטריה רימנית מרחבים טופולוגיים. יריעות חלקות והעתקות חלקות. טנזורים. שיכון יריעות חלקות לתוך מרחב אוקלידי. אגד משיק וקו-משיק, שדות וקטוריים. טנזור מטרי. קשירות אפינית וגזירה קובריאנטית. עקמומיות ופיתןל. קשירות רימנית (Levi-Civita). קווים גיאודזיים. דוגמאות: משטח Lobachevsky, מרחבים פסודו-אוקלידיים ויישומם בפיסיקה. (3) תבניות חיצוניות ואינטגרציה. תבניות חיצוניות. דיפרנציאל De Rham. נגזרת Lie. אינטגרצית תבניות דיפרנציאליות. אוריינטצית יריעות. יריעות עם שפה, נוסחת Stokes
| |||||||||
| 0366-3013 |
סמינר במתמטיקה שימושית SEMINAR IN APPLIED MATHEMATICS |
||||||||
|
Seminar in spectral methods for data analysis 0366.3013
During the past decade, the amount of data that needs to stored,processed, and analyzed has grown very rapidly, to the point where it becomes impossible to organize it using traditional approaches.The most common example is probably the WWW, for which Google is anexcellent example of bringing order into this gigantic cloud ofinformation. Other examples for massive data collections includecommunication networks, biological data, and image and audiodatasets. All these datasets are inherently unstructured andhigh-dimensional. Nevertheless, to make any use of such data, wemust be able to perform tasks such as visualization, clustering,classification, and rankings.
In this seminar, we will survey recent mathematical approaches fordescription and analysis of high-dimensional datasets, with emphasison spectral methods. In particular, we will try to understand themathematical foundations of algorithms for the aforementioned tasks.
סמינר בשיטות ספקטראליות לעיבוד מידע 0366.3013
במהלך העשור האחרון, כמות המידע שיש לאחסן, לעבד, ולנתח, גדלה במהירות רבה, עד לנקודה בה נהיה בלתי אפשרי לארגנו בעזרת שיטות קיימות. הדוגמה הנפוצה ביותר לסוגיה זו היא רשת האינטרנט, שעבורה Google היא דוגמה מצוינת ליצירת סדר בענן המידע העצום. דוגמאות נוספות לאוספי נתונים גדולים כוללות רשתות תקשורת, מידע ביולוגי, ומאגרי תמונות ושמע. המשותף לכל אוספי הנתונים הללו הוא היותם חסרי מבנה ורב-ממדיים. ולמרות זאת, על מנת להשתמש במידע מסוגים אלה, עלינו להיות מסוגלים לבצע פעולות כגון ויזואליזציה, סיווג (classification), דירוג (ranking), ו-clustering.
בסמינר זה נסקור גישות מתמטיות חדשניות לתיאור וניתוח של מידע רב מימדי, בדגש על שיטות ספקטראליות. בפרט, ננסה להבין את הבסיס המתמטי של אלגוריתמים לביצוע הפעולות שצוינו לעיל.
| |||||||||
| 0366-3020 |
משוואות דיפרנציאליות חלקיות 1 PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 1 |
||||||||
|
סילבוס לקורס מד"ח 1
מבוא
אפינים וסינגולריות: שיטת האפינים למשוואה מסדר ראשון, התפשטות של גלים והתפתחות של סינגולריות, משוואת הגלים במימד 1+1, מערכת היפרבולית מחוברת חלשה והתפשטות של סינגולריות, סיווג של משוואות וצורות קנוניות.
שיטות פוריה: פתרונות מערכיים והפרדת משתנים, טורי פוריה והתמרת פוריה, מוצגות היטב והתנהגות אסימפטוטית, מבוא למרחבי סובולב.
פונקציות גרין: קונבולוציה, דיסטריבוציות, סמטריה, משוואת החום, משוואת לפלס ופאוסון, משוואת הגלים.
אנרגיה: עקרון המקסימום, שיטת אנרגיה.
Syllabus for PDE 1
Introduction
Characteristics and singularities: method of characteristics for a first-order equation, wave propagation and development of singularities, wave equation in one spatial dimension, weakly coupled hyperbolic systems and propagation of singularities, classification of PDEs and canonical forms.
Fourier methods: Exponential solutions and separation of variables, Fourier series and transforms, well-posedness and long-time behavior, introduction to Sobolev spaces.
Green's functions: Convolution, distributions, and symmetry, heat equation, Laplace and Poisson equations, wave equation.
Energy: Maximum principle, energy method.
| |||||||||
| 0366-3021 |
מבוא למרחבי הילברט ותורת האופרטורים INTRODUCTION TO HILBERT SPACES AND OPERATOR THEORY |
||||||||
|
מרחבים ליניאריים בעלי ממד אינסופי, מרחבי בנך והילברט. הגיאומטריה של מרחבי הילברט. פונקציונאליים ליניאריים ואופרטורים. משפט האן-בנך ויישומיו. אופרטורים קומפקטיים ותורת פרדהולם במרחבי בנך. אופרטורים קומפקטיים צמודים לעצמם. תורת הילברט-שמידט, עקרון המיני-מכס וערכים עצמיים. התורה הספקטרלית של אופרטורים חסומים צמודים לעצמם ואופרטורים אוניטריים.
| |||||||||
| 0366-3023 |
תורת המידה MEASURE THEORY |
||||||||
|
מרחבים מדידים, פונקציות מדידות, אינטגרציה, מידה מכוונת, משפט רדון-ניקודים, מידה חיצונית, מידה על אלגברה או אלגברה למחצה, משפטי הרחבה, מידת בורל, האינטגרל של לבג-סטילז'יס, מכפלה של מידות ושימושיה, האינטגרל ביחס למידה והאינטגרל של דניאל, מידה וטופולוגיה על מרחב האוסדורף קומפקטי-מקומי, מידת האר. Basic measure theory Measurable space, measure space, monotone class theorem, exten- sion of additive set functions, outer measures, integral, convergence theorems, uniform integrability, product spaces, absolute continuity and singularity, signed measures. Topological measure theory Representation of linear functionals on spaces of continuous func- tions. Weak convergence of measures. Existence and uniqueness of Haar measure on a locally compact topological group. Polish measure spaces Isomorphism of polish measurable spaces and standard non-atomic probability spaces, regularity and tightness of probabilities on Polish spaces, existence of stochastic processes, conditional probabilities, dis- integration of measures. Geometric measure theory Covering theorems, di®erentiation of measures, di®erentiability a.e. of Lipschitz maps, Lipschitz change of variables in integration, Haus- dor® measures on submanifolds of Possible additional topics Probability theory, harmonic analysis, fractals, Souslin theory. 1
MEASURE THEORY SPRING 2009 PROVISIONAL SYLLABUS JON AARONSON | |||||||||
| 0366-3098 |
הסתברות למתמטיקאים PROBABILITY FOR MATHEMATICIANS |
||||||||
|
0366.3098.01-הסתברות למתמטיקאים מושגים יסודיים: מרחב מִדיד, מִדת הסתברות, מרחב הסתברות, אבר מקרי והתפלגותו , שדה-סיגמה הנוצר על ידי אברים מקריים.משתנים מקריים: מדידות, תוחלת, הלמה הראשונה של בורל-קנטלי .אי תלות: שדות סיגמה בלתי תלויים, אברים מקריים בלתי תלויים, מאֹרעות בלתי תלויים. הלמה השניה של בורל-קנטלי. חֹק האפס-אחד של קולמוגורוב.שונות, שונות משותפת, מִתאָם. החק החלש והחק החזק של המספרים הגדולים , מספרים נורמליים.התנייה: חיזוי הטוב ביותר. דיסאנטגרציה של מִדות
.מרטינגלים: פילטרציות, תהליך מֻתאם. זמן עצירה, משפט העצירה של Doob.התכנסות מרטינגלית. משפט הגבול המרכזי: התכנסות בהתפלגות. משפט הגבול המרכזי | |||||||||
| 0366-3117 |
הצגות של חבורות סופיות REPRESENTATIONS OF FINITE GROUPS |
||||||||
|
הצגה אי-פריקה, תת-הצגה, הצגת מנה, הצגה מושרה, הצגה דואלית, הצגה אוניטרית, מכפלה טנזורית של הצגות, כרקטר של הצגה, פירוק ז'ורדן-הלדר של הצגה ממימד סופי, הומומורפיזם של הצגות, פירוק לסכום ישר של תת-הצגות, יחידות הפירוק, הלמה של שור, מרכיבים איזוטיפיים של הצגה, תיאור אלגברת ההומומורפיזמים של הצגה ממימד סופי כסכום ישר של אלגבראות מטריצות, משפט ברנסייד, מקדמים מטריציוניים של הצגה, אי תלות של כרקטרים אי-פריקים, תיאור ההצגות האי-פריקות של מכפלה קרטזית של חבורות, יחסי האורתוגונליות של שור לחבורה סופית, הפירוק של ההצגה הרגולרית של חבורה סופית, הדדיות פרובניוס, קריטריון אי-פריקות של הצגה מושרה, ההצגות האי-פריקות של חבורה סופית שהיא מכפלה חצי ישרה של חבורה וחבורה אבלית נורמלית, אלגברת החבורה של חבורה סופית, האיזומורפיזם שלה לסכום ישר של אלגבראות מטריצות, המרכז של אלגברת החבורה, תכונות שלמות של כרקטרים, המימד של הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה, הצגות ממשיות, משפט פרובניוס-שור בדבר הצגה אי-פריקה השומרת תבנית סימטרית.
נושאים נוספים: הצגות של חבורה קומפקטית (למשל, החבורה האורתוגונלית בשלושה משתנים), הצגות של חבורת התמורות, הצגות של (2)GL מעל שדה סופי.
| |||||||||
| 0366-3126 |
תורת הקבוצות SET THEORY |
||||||||
|
שוויון עוצמות, משפט קנטור-ברנשטיין. קבוצות בנות-מניה, קבוצת החזקה, סדרים קוויים, משפט האיזומורפיזם של קנטור. בניית המספרים הממשיים, חתכי דדקינד, משפט היחידות. אריתמטיקה של עוצמות, עוצמת הרצף. קבוצות סדורות היטב, משפט האיזומורפיזם. מספרים סודרים, אכסיומת ההחלפה, אינדוקציה טרנספיניטית, אריתמטיקה של מספרים סודרים, מספרים מונים, חיבור וכפל שלהם. אכסיומת הבחירה, שקילות בינה, בין משפט הסדר הטוב, ובין הלמה של צורן. יישומים של אכסיומות הבחירה. קבוצות של מספרים ממשיים. עוצמה של קבוצה מושלמת, משפט קנטור-בנדיקסון, קבוצות בורל. אריתמטיקה של מספרים מונים, סכומים ומכפלות אינסופיים. משפט קניג. קו-פינליות של מספרים מונים. מספרים מונים סדירים וחריגים. חזקות של מספרים מונים. השערת הרצף. קבוצות חלקיות סגורות ולא חסומות, קבוצות שבת, הלמה של פודור. מערכות דלתה. אידיאלים ומסננים. בעיית המידה, משפט אולם (Ulam). השערת המונים החריגים, משפט Silver.
0366312601 Set Theory. Cardinality of a set. Cantor-Bernstein Theorem. Countable sets. Sets of intergers, rationals, algebraic numbers. Linear orderings, uniqueness of reals. Uncountable sets. The cardinality of the Continuum. Well-Ordered Sets. Ordinal Numbers. Trans¯nite Induction. Ordinal Arithmetic. Alephs. The Axiom of Choice. Cardinals Arithmetic. Konig's Theorem. Regular and Singular Cardinals. Sets of reals. Cantor -Bendickson Theorem. Borel Sets. Filters and Ultra¯lters. Closed Unbounded and Stationary sets. Fodor's Lemma. Splitting of a stationary set. Delta Systems. The Measure Problem. Ulam's Theorem. Real valued measurable cardinals. Measurable cardinals. Normal ultra¯lters. Silver's Theorem. 1
| |||||||||
| 0366-3143 |
גיאומטריה לא אויקלידית NON EUCLIDEAN GEOMETRY |
||||||||
|
The course is devoted to undergraduate mathematics and physics students. Its purpose is to give an elementary introduction into basic geometric ideas which play an important role in various branches of the modern mathematics and have interesting links to physics.
| |||||||||
| 0366-3201 |
תורת הפונקציות המרוכבות 2 THEORY OF FUNCTIONS 0F A COMPLEX VARIABLE 2 |
||||||||
|
Gamma-function. Stirling formula in the complex plane.
Riemann zeta-function: analytic continuation and functional equation. Prime number theorem. Elliptic functions. Harmonic functions. Poisson-Jensen formula and its applications. Entire and meromorphic functions. Theorems of Bloch and Picard. Entire functions of finite order, Hadamard factorization theorem. Biholomorphic mappings of plane domains. Riemann mapping theorem. Boundary behaviour of conformal mappings. Analytic functions of several variables. Hartogs-Osgood removable singularity theorem. | |||||||||
| 0366-3253 |
סמינר במבוא לגיאומטריה אלגברית SEMINAR ON INTRODUCTION TO ALGEBRAIC GEOMETRY |
||||||||
|
סילבוס לסמינר "מבוא לגיאומטריה אלגברית" 0366-3253-01
סמסטר ב', תשע''א
המרצה: פרופ' י. שוסטין
מבוא: גיאומטריה פרויקטיבית, שדות, אלגברת פולינומים.
יריעות אלגבריות אפיניות ופרויקטיביות. Nullstellensatz , משפט נורמליזציה.
נקודות רגולריות וסינגולאריות. מימד.
עקומות רציונליות ואליפטיות. דוגמא: עקומות קוביות מישוריות. מבנה חבורתי.
משטחים קוואדרטיים וקוביים.
עקומות אלגבריות, משפטי Be'zout, Noether, Riemann-Roch.
דרישות מוקדמות:
אלגברה ליניארית 1, 2.
ספרי לימוד:
1. W. Fulton. Algebraic curves
2. K. Hulek. Elementary algebraic geometry
3. M. Reid. Undergraduate algebraic geometry
| |||||||||
| 0366-3254 |
סמינר בתורת החבורות הגיאומטרית SEMINAR IN GEOMETRIC GROUP THEORY |
||||||||
|
תורת החבורות הגאומטרית
חוקרת חבורות אין-סופיות עפ"י המבנה הגאומטרי שלהן, כמרחב
מטרי. בסמינר נבסס את המסגרת הכללית בתורה זו, נכיר כמה מהחבורות החשובות, ונפתח מספר כלים על-מנת להבחין גאומטרית בין חבורות שונות | |||||||||
| 0366-3267 |
תורת הגרפים GRAPH THEORY |
||||||||
|
גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מעגלי אוילר , מסלולי המילטון, זיווגים, צביעת קשתות,
Advanced Course, Academic Year 2010-11 Lecturer: Prof. Michael Krivelevich Course Title: Random Graphs Syllabus: Models of random graphs and of random graph processes; random regular graphs; appearance of the giant component; long paths and Hamiltonicity; small subgraphs; coloring problems in random graphs; eigenvalues of random graphs and their algorithmic applications; pseudo-random graphs. קורס מתקדם, שנה"ל תשע"א מרצה: פרופ' מיכאל קריבלביץ' שם הקורס: גרפים מקריים סילבוס: מודלים של גרפים מקריים ושל תהליכים גרפיים מקריים; גרפים מקריים רגולריים; הופעת הרכיב הענק; מסלולים ארוכים והמילטוניות; תת-גרפים קבועים; בעיות צביעה בגרפים מקריים; ערכים עצמיים של גרפים מקריים ושימושיהם האלגוריתמיים; גרפים פסאודו-מקריים. | |||||||||
| 0366-3292 |
אלגברה ב' 3 ALGEBRA B 3 |
||||||||
|
חוגים והומומורפיזמים שלהם, אידיאלים. חוג חילופי, אידיאל ראשוני, תחום שלמות. התחלקות בתחום ראשי ובתחום איוקלידי. מודולים והומומורפיזמים שלהם. מודולים מעל תחום ראשי, צורה נורמלית של Jordan של מטריצה. מיקום של חוגים ומודולים, שדה מנות. המושגים של קטגוריה ופונקטור. מכפלה טנזורית, הרחבת סקלרים. סדרה מדוייקת ופונקטור מדוייק. מודולים שטוחים ופרוייקטיביים. האלגבראות הטנזורית, הסימטרית והחיצונית של מודול. חוג נתרי, משפט הבסיס של Hilbert. הפירוק הפרימרי של חוג. הרחבות שלמות של חוגים. למה של Nakayama. הרחבות של הומומורפיזמים. השלמה של חוג ומודול ביחס לאידיאל. חוגים ומודולים מדורגים, למה של Artin-Riesz. הרחבות טרנסצנדנטיות של שדות. משפט האפסים (Nullstellensatz) של Hilbert. משפט Noether. יריעה אלגברית אפינית. ספקטר ראשוני של חוג.
| |||||||||
| 0366-3333 |
חיזוי רב ממדי ןישומיו MULTIDIMENSIONAL VISUALIZATION AND ITS APPLICATIONS |
||||||||
|
המטרה היא הצגת מידע במספר משתנים/מימדים. באמצעות קואורדינאטות מקבילות ניתן להציג עצמים ויחסים ליניאריים, ולא ליניאריים, במספר מימדים, בלא איבוד אינפורמציה. הפיתוח מודגם באמצעות יישומים בכריית מידע (Data Mining), ויזואלי ואוטומטי, וסטטיסטיקה במאגרי מידע במספר מימדים רב, מניעת התנגשויות בבקרה אווירית, מודליזציה גיאומטרית, ראיה ממוחשבת ומערכות תומכות החלטה (עם מודלים לא ליניאריים- פיננסיים, בקרת תהליכים וכו') SYLLABUS – with many interactive demonstrations sional Visualization – Course overview nates, Invariants – 2 lectures and Automatic Data Mining – 1/2 lecture Lines in N-space – 2 Lectures Distance & Proximity Properties Coplanarity – 2 Lectures Recursive Mapping, dualities and demos Curves – 1 1/2 Lectures including theory of Envelopes Statistics, Approximations. 1 (braic, Convex, some Non-Convex and Non-orientable. Detecting con- vexity and non-convexities with their properties visually from their representation. This is preferable than the standard surfafe descrip- tions even for 3-D. Interior Point Algorithms, More on Data Mining, Decision Support & Process Control, (Trade-Off Analysis, Sensitivi- ties and Interelations, Impact of Constraints, a little on Optimization), Automatic Rule Finder (Classifier for Data Mining),ics Newest topics - 1 Lecture in Visualization, e.g. Visualizing: The Internet, Fluid Flow, Neural Networks, Networks and others. The course notes and exercises (in English) will given to the students. Exer- cises will be assigned and graded weekly. Projects may be on mathematical issues, algorithms, implementations (of representations and algorithms) – programming or combinations. the learning and function of artificial neural networks, visualizing topological properties of large networks, constructing the representation of various sur- face classes and studying their properties, reconstructing surfaces from their representation, multivariate data mining [characterizing types of Art/Artists (impressionists etc), characterizing types of music, etc.], studying dualities (i.e. translation characterizing/recognizing proximity of hyperplanes and surfaces, construct- ing the derivative of a function from its representation (for the visualization of the numerical solution of differential equations). Course grade = .2 (exercise grades) + .8 (project grade). THERE ARE NO EXAMS Prerequisite: Linear Algebra, programming proficiency is helpful. 2
Visualizing Multidimensional Geometry and its Applications Math 0366-3333-011 Prof. Alfred Inselberg (aiisreal@post.tau.ac.il) – Office 325 Kaplun. Class meets on Sundays 15:00-18:00, Room 008 Schreiber Bldg | |||||||||
| 0366-3362 |
מבוא לתופעות לא לינאריות INTRODUCTION TO NONLINEAR PHENOMENA |
||||||||
|
התפשטות גלים: תנודות אנהרמוניות בשריג צפוף, גלים אלסטיים (תורת (Rayleigh-Love), גלי מים רדודים ושבירתם, גלים יוניים-אקוסטיים בפלסמה, התפשטות אור בסיב אופטי, צמתי ג'וזפסון ארוכים. שיטות אסימפטוטיות ואחרות לגזירת משוואות מודל לא ליניאריות, (KdV) (KLS, KP) שיטות פתרון מדוייקות - התפשטות אופנים ושבירתם. סוליטונים: התמרות בקלונד, שיטת הירוטה בפיזור הפוך, שיטות פתרון מקורבות - מיצוע, הפרעה, הערכות אסימפטוטיות. תופעות הסעה ודיפוזיה: גלי הלם, גלים ארמיים בפלסמה, תופעות ריאקציה-דיפוזיה, תופעת בין-פניות בזורם צמיג. היווצרות תצורות בזורמים פשוטים ומורכבים. שימוש בחבורות סימטרייה לבניית פתרונות אסימפטוטיים.
| |||||||||