פעולות בסיסיות בקבוצות, עצמות, קבוצות בנות מניה, משפט קנטור ברנשטיין, קבוצות מעצמת הרצף, חשבון מונים, אקסיומת הבחירה והלמה של צורן.

פעולות בסיסיות בקבוצות, עצמות, קבוצות בנות מניה, משפט קנטור ברנשטיין, קבוצות מעצמת הרצף, חשבון מונים, אקסיומת הבחירה והלמה של צורן.

פעולות בסיסיות בקבוצות, עצמות, קבוצות בנות מניה, משפט קנטור ברנשטיין, קבוצות מעצמת הרצף, חשבון מונים, אקסיומת הבחירה והלמה של צורן.

פעולות בסיסיות בקבוצות, עצמות, קבוצות בנות מניה, משפט קנטור ברנשטיין, קבוצות מעצמת הרצף, חשבון מונים, אקסיומת הבחירה והלמה של צורן.

פעולות בסיסיות בקבוצות, עצמות, קבוצות בנות מניה, משפט קנטור ברנשטיין, קבוצות מעצמת הרצף, חשבון מונים, אקסיומת הבחירה והלמה של צורן.

מושג האלגוריתם. נכונות ויעילות של אלגוריתם. יצוג אלגוריתם כתכנית בשפת תכנות עילית. לימוד יסודי של כתיבת תכניות בשפת C על כל מרכיביה, תוך דגש על תכנות מבני ותיכון מלמעלה למטה. 
לימוד אלגוריתמים לבעיות חשובות וניתוח יעילות. בעיות נומריות (מציאת אפס של פונקציה, חישוב המחלק המשותף הגדול ביותר). 
בעיות מיון וחיפוש ופתרונות תוך שימוש במבני נתונים שונים (מערכים, רשימות מקושרות). טיפוסי נתונים מופשטים (מחסניות, תור, עץ). דגש מיוחד על אלגוריתמים רקורסיביים

מושג האלגוריתם. נכונות ויעילות של אלגוריתם. יצוג אלגוריתם כתכנית בשפת תכנות עילית. לימוד יסודי של כתיבת תכניות בשפת C על כל מרכיביה, תוך דגש על תכנות מבני ותיכון מלמעלה למטה. 
לימוד אלגוריתמים לבעיות חשובות וניתוח יעילות. בעיות נומריות (מציאת אפס של פונקציה, חישוב המחלק המשותף הגדול ביותר). 
בעיות מיון וחיפוש ופתרונות תוך שימוש במבני נתונים שונים (מערכים, רשימות מקושרות). טיפוסי נתונים מופשטים (מחסניות, תור, עץ). דגש מיוחד על אלגוריתמים רקורסיביים

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מערכות משוואות לינאריות, שיטת החילוץ של גאוס. מטריצות, פעולות בסיסיות, הפיכת מטריצות. דטרמיננטות. שדות. מרחבים וקטוריים מעל שדה כללי: הגדרה, קבוצות בלתי תלויות ופורשות, בסיס ומימד, תת-מרחבים. דרגה של מטריצה. העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים, דמות וגרעין. ייצוג של העתקות לינאריות באמצעות מטריצות.

מספרים מרוכבים, פתרון משוואות לינאריות, דטרמיננטים, נוסחת קרמר. מרחבים וקטוריים מעל שדה הממשיים והמרוכבים, בסיס ומימד, העתקות לינאריות ומטריצות, גרעין, טווח, מימד הטווח ודרגה של מטריצה, הרכבה של אופרטורים וכפל-מטריצות, החלפת בסיסים בתחום ובטווח. אופרטורים ממרחב לעצמו ומטריצות, תלות בבחירת הבסיס. מכפלה סקלרית ונצבות. אי-שיוויון שוורץ, ערך מוחלט של וקטור, אי-שיוויון המשולש. בסיס אורתונורמלי, היטל אורתוגינלי, תהליך גראם-שמידט.

מספרים מרוכבים, פתרון משוואות לינאריות, דטרמיננטים, נוסחת קרמר. מרחבים וקטוריים מעל שדה הממשיים והמרוכבים, בסיס ומימד, העתקות לינאריות ומטריצות, גרעין, טווח, מימד הטווח ודרגה של מטריצה, הרכבה של אופרטורים וכפל-מטריצות, החלפת בסיסים בתחום ובטווח. אופרטורים ממרחב לעצמו ומטריצות, תלות בבחירת הבסיס. מכפלה סקלרית ונצבות. אי-שיוויון שוורץ, ערך מוחלט של וקטור, אי-שיוויון המשולש. בסיס אורתונורמלי, היטל אורתוגינלי, תהליך גראם-שמידט.

מספרים מרוכבים, פתרון משוואות לינאריות, דטרמיננטים, נוסחת קרמר. מרחבים וקטוריים מעל שדה הממשיים והמרוכבים, בסיס ומימד, העתקות לינאריות ומטריצות, גרעין, טווח, מימד הטווח ודרגה של מטריצה, הרכבה של אופרטורים וכפל-מטריצות, החלפת בסיסים בתחום ובטווח. אופרטורים ממרחב לעצמו ומטריצות, תלות בבחירת הבסיס. מכפלה סקלרית ונצבות. אי-שיוויון שוורץ, ערך מוחלט של וקטור, אי-שיוויון המשולש. בסיס אורתונורמלי, היטל אורתוגינלי, תהליך גראם-שמידט.

מספרים מרוכבים, פתרון משוואות לינאריות, דטרמיננטים, נוסחת קרמר. מרחבים וקטוריים מעל שדה הממשיים והמרוכבים, בסיס ומימד, העתקות לינאריות ומטריצות, גרעין, טווח, מימד הטווח ודרגה של מטריצה, הרכבה של אופרטורים וכפל-מטריצות, החלפת בסיסים בתחום ובטווח. אופרטורים ממרחב לעצמו ומטריצות, תלות בבחירת הבסיס. מכפלה סקלרית ונצבות. אי-שיוויון שוורץ, ערך מוחלט של וקטור, אי-שיוויון המשולש. בסיס אורתונורמלי, היטל אורתוגינלי, תהליך גראם-שמידט.

מושגים בסיסיים וסימונים - הקבוצה והפונקציה, סדרות ממשיות, מושג הגבול, טורים וחסמים, פונקציות רציפות (ממשיות במשתנה ממשי), מקסימום ומינימום, המספר הנגזר, פונקציות גזירות, משפט ערך הביניים. כללי גזירה, פולינומים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים, מקסימום ומינימום של פונקציות גזירות, נקודות פתול, נגזרת שניה ופונקציות קמורות וקעורות, האינטגרל המסוים, הפונקציה הקדומה והקשר ביניהם, פונקציות ממשיות של שניים או יותר משתנים ממשיים, רציפות נגזרות חלקיות ונגזרות כווניות ומושג הדיפרנציאל.

מושגים בסיסיים וסימונים - הקבוצה והפונקציה, סדרות ממשיות, מושג הגבול, טורים וחסמים, פונקציות רציפות (ממשיות במשתנה ממשי), מקסימום ומינימום, המספר הנגזר, פונקציות גזירות, משפט ערך הביניים. כללי גזירה, פולינומים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים, מקסימום ומינימום של פונקציות גזירות, נקודות פתול, נגזרת שניה ופונקציות קמורות וקעורות, האינטגרל המסוים, הפונקציה הקדומה והקשר ביניהם, פונקציות ממשיות של שניים או יותר משתנים ממשיים, רציפות נגזרות חלקיות ונגזרות כווניות ומושג הדיפרנציאל.

מושגים בסיסיים וסימונים - הקבוצה והפונקציה, סדרות ממשיות, מושג הגבול, טורים וחסמים, פונקציות רציפות (ממשיות במשתנה ממשי), מקסימום ומינימום, המספר הנגזר, פונקציות גזירות, משפט ערך הביניים. כללי גזירה, פולינומים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים, מקסימום ומינימום של פונקציות גזירות, נקודות פתול, נגזרת שניה ופונקציות קמורות וקעורות, האינטגרל המסוים, הפונקציה הקדומה והקשר ביניהם, פונקציות ממשיות של שניים או יותר משתנים ממשיים, רציפות נגזרות חלקיות ונגזרות כווניות ומושג הדיפרנציאל.

מושגים בסיסיים וסימונים - הקבוצה והפונקציה, סדרות ממשיות, מושג הגבול, טורים וחסמים, פונקציות רציפות (ממשיות במשתנה ממשי), מקסימום ומינימום, המספר הנגזר, פונקציות גזירות, משפט ערך הביניים. כללי גזירה, פולינומים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים, מקסימום ומינימום של פונקציות גזירות, נקודות פתול, נגזרת שניה ופונקציות קמורות וקעורות, האינטגרל המסוים, הפונקציה הקדומה והקשר ביניהם, פונקציות ממשיות של שניים או יותר משתנים ממשיים, רציפות נגזרות חלקיות ונגזרות כווניות ומושג הדיפרנציאל.

מכניקה: קינמטיקה של נקודה, החוק השני של ניוטון, עבודה ואנרגיה, כוחות חיכוך, תנע, אוסצילטור הרמוני ורזוננס, כח מרכזי ותנועה סיבובית, חוקי קפלר. 
חשמל: מטען חשמלי, עקרונות יסוד מבנה האטום, חוק קולומב, קבול זרם, התנגדות, אנרגיה חשמלית, השדה המגנטי הקשור בזרם, הכח האלקטרומגנטי שמושרה ע"י שדה מגנטי, מעגלי R-L-C.

מכניקה: קינמטיקה של נקודה, החוק השני של ניוטון, עבודה ואנרגיה, כוחות חיכוך, תנע, אוסצילטור הרמוני ורזוננס, כח מרכזי ותנועה סיבובית, חוקי קפלר. 
חשמל: מטען חשמלי, עקרונות יסוד מבנה האטום, חוק קולומב, קבול זרם, התנגדות, אנרגיה חשמלית, השדה המגנטי הקשור בזרם, הכח האלקטרומגנטי שמושרה ע"י שדה מגנטי, מעגלי R-L-C.

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון. הפרשים מחולקים. אינטרפולציות הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים ותכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי (יצוטטו משפטי התכנסות). שיטות לפתרון ישיר של משוואות לינאריות, משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, אקסטרפולציה.

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון. הפרשים מחולקים. אינטרפולציות הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים ותכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי (יצוטטו משפטי התכנסות). שיטות לפתרון ישיר של משוואות לינאריות, משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, אקסטרפולציה.

משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, פתרון בעזרת טורי חזקות, נקודות סינגולריות, פונקציות מיוחדות, תכונותיהן האוסצילטוריות, צורתן האסימפטוטית, בעיות שפה ותורת שטורם-ליוביל, תנאי שפה הומוגניים ומחזוריים, פונקציות עצמיות, ערכים עצמיים, טורי פוריה, טורי פונקציות עצמיות, שלמות, פונקצית גרין, משוואות הפרשים.

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. משפט ויירשטרס על קרוב פולינומיאלי, פולינומי ברנשטיין. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון, אינטרפולציה טריגונומטרית. הפרשים מחולקים, אנליזה פורמלית של הפרשים סופיים. אינטרפולצית הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית, הוכחת הרדוקציה של אינטרפולצית ניוטון להרמיט. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים והוכחת תכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי, הוכחת התכנסות במקרה הטריגונומטרי כאשר הפונקציה חלקה למקוטעין. קרוב המינימקס, איפיון וחישוב, פולינומי צ'בישב, האלגוריתם של רמז. משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, שיטת ניוטון-רפסון למערכת, קצב התכנסות, שיטת החזקה לערכים עצמיים. אקסטרפולציה. פונקציות ספליין: איפיון, חישוב ותכונות קרוב, B-splines.

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. משפט ויירשטרס על קרוב פולינומיאלי, פולינומי ברנשטיין. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון, אינטרפולציה טריגונומטרית. הפרשים מחולקים, אנליזה פורמלית של הפרשים סופיים. אינטרפולצית הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית, הוכחת הרדוקציה של אינטרפולצית ניוטון להרמיט. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים והוכחת תכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי, הוכחת התכנסות במקרה הטריגונומטרי כאשר הפונקציה חלקה למקוטעין. קרוב המינימקס, איפיון וחישוב, פולינומי צ'בישב, האלגוריתם של רמז. משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, שיטת ניוטון-רפסון למערכת, קצב התכנסות, שיטת החזקה לערכים עצמיים. אקסטרפולציה. פונקציות ספליין: איפיון, חישוב ותכונות קרוב, B-splines.

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. משפט ויירשטרס על קרוב פולינומיאלי, פולינומי ברנשטיין. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון, אינטרפולציה טריגונומטרית. הפרשים מחולקים, אנליזה פורמלית של הפרשים סופיים. אינטרפולצית הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית, הוכחת הרדוקציה של אינטרפולצית ניוטון להרמיט. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים והוכחת תכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי, הוכחת התכנסות במקרה הטריגונומטרי כאשר הפונקציה חלקה למקוטעין. קרוב המינימקס, איפיון וחישוב, פולינומי צ'בישב, האלגוריתם של רמז. משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, שיטת ניוטון-רפסון למערכת, קצב התכנסות, שיטת החזקה לערכים עצמיים. אקסטרפולציה. פונקציות ספליין: איפיון, חישוב ותכונות קרוב, B-splines.

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. משפט ויירשטרס על קרוב פולינומיאלי, פולינומי ברנשטיין. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון, אינטרפולציה טריגונומטרית. הפרשים מחולקים, אנליזה פורמלית של הפרשים סופיים. אינטרפולצית הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית, הוכחת הרדוקציה של אינטרפולצית ניוטון להרמיט. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים והוכחת תכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי, הוכחת התכנסות במקרה הטריגונומטרי כאשר הפונקציה חלקה למקוטעין. קרוב המינימקס, איפיון וחישוב, פולינומי צ'בישב, האלגוריתם של רמז. משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, שיטת ניוטון-רפסון למערכת, קצב התכנסות, שיטת החזקה לערכים עצמיים. אקסטרפולציה. פונקציות ספליין: איפיון, חישוב ותכונות קרוב, B-splines.

אריתמטיקה סופית - רגישות ואיבוד דיוק. משפט ויירשטרס על קרוב פולינומיאלי, פולינומי ברנשטיין. אינטרפולציה באמצעות פולינומים על פי לגרנז' וניוטון, אינטרפולציה טריגונומטרית. הפרשים מחולקים, אנליזה פורמלית של הפרשים סופיים. אינטרפולצית הרמיט לפונקציה ונגזרותיה. גזירה נומרית, הוכחת הרדוקציה של אינטרפולצית ניוטון להרמיט. אינטגרציה נומרית, שיטת גאוס, פולינומים אורתוגונליים והוכחת תכונותיהם. קרוב ריבועים פחותים, קרובי פוריה בבסיס אורתוגונלי, הוכחת התכנסות במקרה הטריגונומטרי כאשר הפונקציה חלקה למקוטעין. קרוב המינימקס, איפיון וחישוב, פולינומי צ'בישב, האלגוריתם של רמז. משפט נקודת השבת, שיטות איטרטיביות לפתרון משוואות לינאריות ולא לינאריות, שיטת ניוטון-רפסון למערכת, קצב התכנסות, שיטת החזקה לערכים עצמיים. אקסטרפולציה. פונקציות ספליין: איפיון, חישוב ותכונות קרוב, B-splines.

מידה ומידה חיצונית, הרחבה של מידה מאלגברה למחצה לאלגברה אדיטיבית ניתנת להימנות, דוגמאות: מידת לבג על הישר ובמרחבים אוקלידיים, מידת בורל. פונקציות מדידות, אינטגרל ביחס למידה, בפרט אינטגרל לבג, אינטגרל ונגזרת על הישר, במרחב אוקלידי ונגזרת רדון-ניקודים. סוגים שונים של התכנסות, הלמה של פטו ומשפטי התכנסות. מרחב הפונקציות הרציפות ומרחבי , הצגות של פונקציונלים.

מידה ומידה חיצונית, הרחבה של מידה מאלגברה למחצה לאלגברה אדיטיבית ניתנת להימנות, דוגמאות: מידת לבג על הישר ובמרחבים אוקלידיים, מידת בורל. פונקציות מדידות, אינטגרל ביחס למידה, בפרט אינטגרל לבג, אינטגרל ונגזרת על הישר, במרחב אוקלידי ונגזרת רדון-ניקודים. סוגים שונים של התכנסות, הלמה של פטו ומשפטי התכנסות. מרחב הפונקציות הרציפות ומרחבי , הצגות של פונקציונלים.

1. מרחבים טופולוגיים, פונקציות רציפות, מכפלה טופולוגית, מרחב מנה.
2. קשירות, קשירות מקומית.
3. אקסיומות ההפרדה, משפט אוריסון, משפט ההרחבה של טיצה, משפט השיכון של טיכונוב
4. רשתות, אכסיומות המניה, משפט המטריזביליות של אוריסון.
5. מרחבים קומפקטיים, משפט המכפלה של טיכונוב, מרחבים קומפקטיים מקומית, קומפקטיפיקציות.
6. מרחבים מטריים שלמים, קומפקטיות במרחבים מטריים.
7. חבורת היסוד, משפט בראוער, משפט ז'ורדן.    

1. מרחבים טופולוגיים, פונקציות רציפות, מכפלה טופולוגית, מרחב מנה.
2. קשירות, קשירות מקומית.
3. אקסיומות ההפרדה, משפט אוריסון, משפט ההרחבה של טיצה, משפט השיכון של טיכונוב
4. רשתות, אכסיומות המניה, משפט המטריזביליות של אוריסון.
5. מרחבים קומפקטיים, משפט המכפלה של טיכונוב, מרחבים קומפקטיים מקומית, קומפקטיפיקציות.
6. מרחבים מטריים שלמים, קומפקטיות במרחבים מטריים.
7. חבורת היסוד, משפט בראוער, משפט ז'ורדן.    

האלגוריתם של אוקלידס: מחלק משותף מקסימלי, יחידות פירוק לראשוניים, משוואות דיופנטיות לינאריות, שברים משולבים. קונגרואנציות, משפט השאריות הסיני, המשפט הקטן של פרמה, שרשים פרימיטיביים. קונגרואנציות ריבועיות, סימני לג'נדר ויעקובי, משפט ההדדיות הרבועית. קרובים רציונליים, משוואת Pell, משפט ליוביל על קרובים רציונליים למספרים אלגבריים.

נושאים נוספים שיכוסו ככל שהזמן יתיר:  משפט המספרים הראשוניים (ללא הוכחה) ושימושיו, בדיקת ראשוניות, הצפנה במפתח פומבי (RSA), אריתמטיקה של הרחבות ריבועיות של רציונליים וסכומי ריבועים.

האלגוריתם של אוקלידס: מחלק משותף מקסימלי, יחידות פירוק לראשוניים, משוואות דיופנטיות לינאריות, שברים משולבים. קונגרואנציות, משפט השאריות הסיני, המשפט הקטן של פרמה, שרשים פרימיטיביים. קונגרואנציות ריבועיות, סימני לג'נדר ויעקובי, משפט ההדדיות הרבועית. קרובים רציונליים, משוואת Pell, משפט ליוביל על קרובים רציונליים למספרים אלגבריים.

נושאים נוספים שיכוסו ככל שהזמן יתיר:  משפט המספרים הראשוניים (ללא הוכחה) ושימושיו, בדיקת ראשוניות, הצפנה במפתח פומבי (RSA), אריתמטיקה של הרחבות ריבועיות של רציונליים וסכומי ריבועים.

תחשיב פסוקים, תחשיב הפרדיקטים ומשפט השלמות, יסודות תורת המודלים, משפט אי-השלמות.

(1)   עקומות ומשטחים.

יסודות של תורת עקומות. עקומות מישוריות עקומות במרחב. נוסחאות Frenet. חבורת טרנספורמציות אורתוגונליות. משטחים רגולריים, מטריקה. תבניות דיפרנציאליות הראשונה והשנייה. קווי עקמומיות על משטח. עקמומיות Gauss.

משוואות דריבציה ומשפט Bonnet. משפט Gauss. גזירה קובריאנטית וקווים גיאודזיים. משוואות Euler-Lagrange. נוסחת Gauss-Bonnet. משטחים מינימליים.  משטחים של עקמומיות קבועה. משטחים עם פרמטריזציה קונפורמלית. הצגצ Weierstrass.

(2)   גיאומטריה רימנית

מרחבים טופולוגיים. יריעות חלקות והעתקות חלקות. טנזורים. שיכון יריעות חלקות לתוך מרחב אוקלידי. אגד משיק וקו-משיק, שדות וקטוריים.  טנזור מטרי. קשירות אפינית וגזירה קובריאנטית. עקמומיות ופיתןל. קשירות רימנית (Levi-Civita). קווים גיאודזיים. דוגמאות: משטח Lobachevsky, מרחבים פסודו-אוקלידיים ויישומם בפיסיקה.

(3)   תבניות חיצוניות ואינטגרציה.

תבניות חיצוניות. דיפרנציאל De Rham. נגזרת Lie. אינטגרצית תבניות דיפרנציאליות.  אוריינטצית יריעות. יריעות עם שפה, נוסחת Stokes

מבוא, משוואות לינאריות מסדר ראשון, בעית קושי, קווים אפיניים. משוואות מסדר שני, סיווג, צורות קנוניות. משוואת הגלים. פתרון דה-למבר. פתרונות חלשים למשוואת הגלים, יחידות של פתרון חלש לבעית קושי. בעיות שפה. שיטת הפרדת משתנים. טורי פוריה. בעית שטורם-ליוביל. אי-שוויון בסל. משוואת החום החד-ממדית, עקרון מקסימום. הערכות אינטגרליות, יציבות לפתרון של בעית שפה. טרנספורם פוריה, פתרון יסודי. משוואת לפלס נוסחת פואסון, פונקצית גרין. עקרון מקסימום.

מבוא, משוואות לינאריות מסדר ראשון, בעית קושי, קווים אפיניים. משוואות מסדר שני, סיווג, צורות קנוניות. משוואת הגלים. פתרון דה-למבר. פתרונות חלשים למשוואת הגלים, יחידות של פתרון חלש לבעית קושי. בעיות שפה. שיטת הפרדת משתנים. טורי פוריה. בעית שטורם-ליוביל. אי-שוויון בסל. משוואת החום החד-ממדית, עקרון מקסימום. הערכות אינטגרליות, יציבות לפתרון של בעית שפה. טרנספורם פוריה, פתרון יסודי. משוואת לפלס נוסחת פואסון, פונקצית גרין. עקרון מקסימום.

מרחבים ליניאריים בעלי ממד אינסופי, מרחבי בנך והילברט. הגיאומטריה של מרחבי הילברט. פונקציונאליים ליניאריים ואופרטורים. משפט האן-בנך ויישומיו. אופרטורים קומפקטיים ותורת פרדהולם במרחבי בנך. אופרטורים קומפקטיים צמודים לעצמם. תורת הילברט-שמידט, עקרון המיני-מכס וערכים עצמיים. התורה הספקטרלית של אופרטורים חסומים צמודים לעצמם ואופרטורים אוניטריים.

מרחבי בנך, פונקציונלים ואופרטורים, המרחב הצמוד, רפלכסיביות, טופולוגיות חלשות, בסיסים.

מרחבי בנך, פונקציונלים ואופרטורים, המרחב הצמוד, רפלכסיביות, טופולוגיות חלשות, בסיסים.

מרחבים מדידים, פונקציות מדידות, אינטגרציה, מידה מכוונת, משפט רדון-ניקודים, מידה חיצונית, מידה על אלגברה או אלגברה למחצה, משפטי הרחבה, מידת בורל, האינטגרל של לבג-סטילז'יס, מכפלה של מידות ושימושיה, האינטגרל ביחס למידה והאינטגרל של דניאל, מידה וטופולוגיה על מרחב האוסדורף קומפקטי-מקומי, מידת האר.

Syllabus for Numerical Analysis II

We will discuss advanced methods in numerical methods. There will be some flexibility in topics. Sample topics include Singular Value decomposition, eigenvalues and eigenvectors, iterative solution of linear equations, minimzation and optimization techniques and ordinary differential equations
 

0366.3098.01-הסתברות למתמטיקאים

This is a course for undergraduate and graduate mathematics and physics students. Its purpose is to give an introduction to the theory of manifolds -- topological spaces which locally look as the usual Euclidean space but may have a complicated global shape. Manifolds play a basic role in modern mathematics and mathematical physics.

הצגה אי-פריקה, תת-הצגה, הצגת מנה,  הצגה מושרה, הצגה דואלית, הצגה אוניטרית, מכפלה טנזורית של הצגות, כרקטר של הצגה, פירוק ז'ורדן-הלדר של הצגה ממימד סופי, הומומורפיזם של הצגות, פירוק לסכום ישר של תת-הצגות, יחידות הפירוק, הלמה של שור, מרכיבים איזוטיפיים של הצגה, תיאור אלגברת ההומומורפיזמים של הצגה ממימד סופי כסכום ישר של אלגבראות מטריצות, משפט ברנסייד,  מקדמים מטריציוניים של הצגה,  אי תלות של כרקטרים אי-פריקים,  תיאור ההצגות האי-פריקות של מכפלה קרטזית של חבורות, יחסי האורתוגונליות של שור לחבורה סופית, הפירוק של ההצגה הרגולרית של חבורה סופית, הדדיות פרובניוס, קריטריון אי-פריקות של הצגה מושרה, ההצגות האי-פריקות של חבורה סופית שהיא מכפלה חצי ישרה של חבורה וחבורה אבלית נורמלית, אלגברת החבורה של חבורה סופית, האיזומורפיזם שלה לסכום ישר של אלגבראות מטריצות, המרכז של אלגברת החבורה, תכונות שלמות של כרקטרים, המימד של הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה, הצגות ממשיות, משפט פרובניוס-שור בדבר הצגה אי-פריקה השומרת תבנית סימטרית.

נושאים נוספים: הצגות של חבורה קומפקטית (למשל,  החבורה האורתוגונלית בשלושה משתנים), הצגות של חבורת התמורות, הצגות של (2)GL מעל שדה סופי.

שוויון עוצמות, משפט קנטור-ברנשטיין. קבוצות בנות-מניה, קבוצת החזקה, סדרים קוויים, משפט האיזומורפיזם של קנטור. בניית המספרים הממשיים, חתכי דדקינד, משפט היחידות. אריתמטיקה של עוצמות, עוצמת הרצף. קבוצות סדורות היטב, משפט האיזומורפיזם. מספרים סודרים, אכסיומת ההחלפה, אינדוקציה טרנספיניטית, אריתמטיקה של מספרים סודרים, מספרים מונים, חיבור וכפל שלהם. אכסיומת הבחירה, שקילות בינה, בין משפט הסדר הטוב, ובין הלמה של צורן. יישומים של אכסיומות הבחירה. קבוצות של מספרים ממשיים. עוצמה של קבוצה מושלמת, משפט קנטור-בנדיקסון, קבוצות בורל. אריתמטיקה של מספרים מונים, סכומים ומכפלות אינסופיים. משפט קניג. קו-פינליות של מספרים מונים. מספרים מונים סדירים וחריגים. חזקות של מספרים מונים. השערת הרצף. קבוצות חלקיות סגורות ולא חסומות, קבוצות שבת, הלמה של פודור. מערכות דלתה. אידיאלים ומסננים. בעיית המידה, משפט אולם (Ulam). השערת המונים החריגים, משפט Silver.

שוויון עוצמות, משפט קנטור-ברנשטיין. קבוצות בנות-מניה, קבוצת החזקה, סדרים קוויים, משפט האיזומורפיזם של קנטור. בניית המספרים הממשיים, חתכי דדקינד, משפט היחידות. אריתמטיקה של עוצמות, עוצמת הרצף. קבוצות סדורות היטב, משפט האיזומורפיזם. מספרים סודרים, אכסיומת ההחלפה, אינדוקציה טרנספיניטית, אריתמטיקה של מספרים סודרים, מספרים מונים, חיבור וכפל שלהם. אכסיומת הבחירה, שקילות בינה, בין משפט הסדר הטוב, ובין הלמה של צורן. יישומים של אכסיומות הבחירה. קבוצות של מספרים ממשיים. עוצמה של קבוצה מושלמת, משפט קנטור-בנדיקסון, קבוצות בורל. אריתמטיקה של מספרים מונים, סכומים ומכפלות אינסופיים. משפט קניג. קו-פינליות של מספרים מונים. מספרים מונים סדירים וחריגים. חזקות של מספרים מונים. השערת הרצף. קבוצות חלקיות סגורות ולא חסומות, קבוצות שבת, הלמה של פודור. מערכות דלתה. אידיאלים ומסננים. בעיית המידה, משפט אולם (Ulam). השערת המונים החריגים, משפט Silver.

The course is devoted to undergraduate mathematics and physics students. Its purpose is to give an elementary introduction into basic geometric ideas which play an important role in various branches of the modern mathematics and have interesting links to physics. 
1. Isometries of the Euclidean space. Discrete groups of isometries of the plane. Surfaces: torus, the Moebius band, the Klein bottle. Crystallographic restriction. 
2. Billiards. 
3. Platonic Solids. The Euler formula via spherical geometry. 
4. Isometries, complex numbers and quaternions. 
5. Linear fractional transformations. 
6. Basic notions of Riemannian geometry : length, distance, geodesics. 
7. Hyperbolic plane (the Poincare model). Geodesics and isometries. Elementary hyperbolic geometry. The axiom of parallels revisited. 
8. Transformations of Galileo and Lorentz. The Minkowski space and relativity. 9. Pseudo-sphere and other models of the hyperbolic plane. 
10. Discrete groups of hyperbolic isometries. Fundamental regions. The modular group. 
Prerequisites: Linear Algebra -1,2, Calculus -1,2.

Syllabus לסמינר בטופולוגיה דיפרנציאלית

יריעות חלקות, משפטSard , דרגה של העתקה בין יריעות, שדות וקטורים ומאפיין Euler, framed cobordism ומשפט Hopf.

חוגים והומומורפיזמים שלהם, אידיאלים. חוג חילופי, אידיאל ראשוני, תחום שלמות. התחלקות בתחום ראשי ובתחום איוקלידי. מודולים והומומורפיזמים שלהם. מודולים מעל תחום ראשי, צורה נורמלית של Jordan של מטריצה. מיקום של חוגים ומודולים, שדה מנות. המושגים של קטגוריה ופונקטור. מכפלה טנזורית, הרחבת סקלרים. סדרה מדוייקת ופונקטור מדוייק. מודולים שטוחים ופרוייקטיביים. האלגבראות הטנזורית, הסימטרית והחיצונית של מודול. חוג נתרי, משפט הבסיס של Hilbert. הפירוק הפרימרי של חוג. הרחבות שלמות של חוגים. למה של Nakayama. הרחבות של הומומורפיזמים. השלמה של חוג ומודול ביחס לאידיאל. חוגים ומודולים מדורגים, למה של Artin-Riesz. הרחבות טרנסצנדנטיות של שדות. משפט האפסים (Nullstellensatz) של Hilbert. משפט Noether. יריעה אלגברית אפינית. ספקטר ראשוני של חוג.

חוגים והומומורפיזמים שלהם, אידיאלים. חוג חילופי, אידיאל ראשוני, תחום שלמות. התחלקות בתחום ראשי ובתחום איוקלידי. מודולים והומומורפיזמים שלהם. מודולים מעל תחום ראשי, צורה נורמלית של Jordan של מטריצה. מיקום של חוגים ומודולים, שדה מנות. המושגים של קטגוריה ופונקטור. מכפלה טנזורית, הרחבת סקלרים. סדרה מדוייקת ופונקטור מדוייק. מודולים שטוחים ופרוייקטיביים. האלגבראות הטנזורית, הסימטרית והחיצונית של מודול. חוג נתרי, משפט הבסיס של Hilbert. הפירוק הפרימרי של חוג. הרחבות שלמות של חוגים. למה של Nakayama. הרחבות של הומומורפיזמים. השלמה של חוג ומודול ביחס לאידיאל. חוגים ומודולים מדורגים, למה של Artin-Riesz. הרחבות טרנסצנדנטיות של שדות. משפט האפסים (Nullstellensatz) של Hilbert. משפט Noether. יריעה אלגברית אפינית. ספקטר ראשוני של חוג.

המטרה היא הצגת מידע במספר משתנים/מימדים. באמצעות קואורדינאטות מקבילות ניתן להציג עצמים ויחסים ליניאריים, ולא ליניאריים, במספר מימדים, בלא איבוד אינפורמציה. הפיתוח מודגם באמצעות יישומים בכריית מידע (Data Mining), ויזואלי ואוטומטי, וסטטיסטיקה במאגרי מידע במספר מימדים רב, מניעת התנגשויות בבקרה אווירית, מודליזציה גיאומטרית, ראיה ממוחשבת ומערכות תומכות החלטה (עם מודלים לא ליניאריים- פיננסיים, בקרת תהליכים וכו')

1. תנודות ליניאריות של נדנד חפשי ומאולץ (תנודות, דעיכה, תהודה)
2. תנודות של נדנד לא ליניארי: אנרגיה, מישור פאזה, פתרון מחזורי,

3. 2 דוגמאות לנדנדים לא-ליניאריים:,DuffingVan der Pol
4. סינכרון של נדנדים. דוגמאות: קוצב לב ואיתות של גחליליות.  
5. תנודות ממוקדות במערכת צמודה של נדנדים מצומדת.
6. דינמיקה של שרשרת צפופה: התפשטות גלים בשרשרת
7. תנודות במולקולות ארוכות. 

1. Linear scale-space of images as a continuous low-pass filtering
2. Linear scale-space as the fundamental solution of the diffusion equation
3. Anisotropic diffusion as new image filtering technique
4. The geometric heat flow and curve evolution as a basis for image denoising and segmentation.                                                                                                 

התפשטות גלים: תנודות אנהרמוניות בשריג צפוף, גלים אלסטיים (תורת (Rayleigh-Love), גלי מים רדודים ושבירתם, גלים יוניים-אקוסטיים בפלסמה, התפשטות אור בסיב אופטי, צמתי ג'וזפסון ארוכים. שיטות אסימפטוטיות ואחרות לגזירת משוואות מודל לא ליניאריות, (KdV) (KLS, KP) שיטות פתרון מדוייקות - התפשטות אופנים ושבירתם. סוליטונים: התמרות בקלונד, שיטת הירוטה בפיזור הפוך, שיטות פתרון מקורבות - מיצוע, הפרעה, הערכות אסימפטוטיות. תופעות הסעה ודיפוזיה: גלי הלם, גלים ארמיים בפלסמה, תופעות ריאקציה-דיפוזיה, תופעת בין-פניות בזורם צמיג. היווצרות תצורות בזורמים פשוטים ומורכבים. שימוש בחבורות סימטרייה לבניית פתרונות אסימפטוטיים.