 שנה"ל תשע"ו | |||||||||||||||||||||||||
 |
 |
||||||||||||||||||||||||
|
פונקציות מרוכבות
Complex Functions |
0509-2844-14 | ||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| הנדסה | תואר ראשון - קורסי שירות | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
ש"ס: 1.0
סילבוס מקוצר
משקל: 2.5
דרישות קדם: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי; אלגברה לינארית; שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות.
שדה המספרים המרוכבים. האלגברה והגיאומטריה של מספרים מרוכבים. ייצוג קטבי. צמוד מרוכב. הפונקציות logx,expx חזקות, שרשים, וביאורם הגיאומטרי. אפיון אזורים ותחומים במישור המרוכב (דיסק, טבעת. פונקציה של משתנה מרוכב. פונקציה כמיפוי. גבולות, רציפות, נגזרת. כללי גזירה, פונקציות אנליטיות, משואות קושי-רימן. מסקנות ושימושים של משואות קושי-רימן. פונקציות אלמנטריות.הפונקציה האכספוננציאלית, פונקציות טריגונומטריות, פונקציות היפרבוליות, לוגריתמים ומישור החתוך, ענפים, פונקציות הפכיות. שרשים וענפי חיתוך. אינטגרציה במישור המרוכב, אינטגרל על קו Jordan פשוט ועל מסלול. תחום פשוט קשר. תנאים לאי תלות במסלול האינטגרציה. אינטגרל Cauchy ושימושו להערכת נגזרת. נגזרות מכל סדר של פונקציות אנליטיות. משפטLiouville לפונקציות שלמות והמשפט הבסיסי של האלגברה. קריטריון Cauchy-Hadamard להתכנסות של טורי חזקות, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות. אפסים של פונקציות אנליטיות.מבחן M של Weierstrass להתכנסות במידה שווה של טורי פונקציות. החלפת סדר של סכום ואינטגרל. גבול במידה שווה של סדרת פונקציה אנליטית. נקודות סינגולריות מבודדות של פונקציה אנליטית. משפט השארית ושימושו. נקודות סינגולריות מבודדות ומיונן: סליקה, קוטב ועיקרית, משפט השארית. חישוב אינטגרלים ממשיים באמצעות משפט השארית. עקרון הארגומנט. אינטגרל לאורך ענף חיתוך. העתקות קונפורמיות ושימושיהן.
Course description
Credit Points: 2.5
Prerequisites: Differential and Integral Calculus; Linear Algebra; Differential and
Integral Methods
The complex numbers system. Algebra of complex numbers. Geometrical interpretation and the complex plane. Polar representation. Complex conjugate. The logarithmic and exponential functions. Powers, roots, and their geometrical interpretations. Disk and ring regions in the complex plane. Functions of complex variables. Limit, continuity, derivative. Differentiation rules. Analytic functions. Cauchy-Riemann theorem and its applications. Elementary functions. Branch cuts and inverses. Integration in the complex plane. Contour integration. Simply connected domains. Independence of the path. Cauchy integral and its use to evaluate derivatives. Liouville theorem for entire functions. The fundamental theorem of algebra. Cauchy-Hadamard criteria for power series. Integration and differentiation of power series. Roots of analytic functions. Weierstrass M-test for uniform convergence of function series. Changing the order of summation and integration. Uniform convergence of function series. Isolated singular points of analytic functions. Residue theorem and its applications. The argument theorem. Branch cut integration. Conformal mapping.
Prerequisites: Differential and Integral Calculus; Linear Algebra; Differential and
Integral Methods
The complex numbers system. Algebra of complex numbers. Geometrical interpretation and the complex plane. Polar representation. Complex conjugate. The logarithmic and exponential functions. Powers, roots, and their geometrical interpretations. Disk and ring regions in the complex plane. Functions of complex variables. Limit, continuity, derivative. Differentiation rules. Analytic functions. Cauchy-Riemann theorem and its applications. Elementary functions. Branch cuts and inverses. Integration in the complex plane. Contour integration. Simply connected domains. Independence of the path. Cauchy integral and its use to evaluate derivatives. Liouville theorem for entire functions. The fundamental theorem of algebra. Cauchy-Hadamard criteria for power series. Integration and differentiation of power series. Roots of analytic functions. Weierstrass M-test for uniform convergence of function series. Changing the order of summation and integration. Uniform convergence of function series. Isolated singular points of analytic functions. Residue theorem and its applications. The argument theorem. Branch cut integration. Conformal mapping.