 שנה"ל תשע"ה | |||||||||||||||||||||||||
 |
 |
||||||||||||||||||||||||
|
אלגברה לינארית
Linear Algebra |
0509-1824-25 | ||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| הנדסה | תואר ראשון - קורסי שירות | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
ש"ס: 2.0
סילבוס מקוצר
משקל: 6
שדות מספרים (רציונאליים, ממשיים, מרוכבים, דוגמאות לשדות סופיים). מטריצות, מטריצת סבוב במישור ובמרחב, תכונות אלגבריות וגיאומטריות. משוואות לינאריות, פעולות שורה על מטריצה, צורת row echelon. מערכת משואות הומוגנית, תנאי קונסיסטנטיות, פתרון כללי. מטריצה הופכית. מרחבים וקטוריים, תת-מרחב, תלות ואי-תלות לינארית. בסיסיםוהחלפת בסיס, מרחב השורות של מטריצה, שקילות בעמודות, שקילות שורות-עמודות, יחס שקילות וצורות קנוניות. דטרמיננטים: נפח במרחב ובמימדים גבוהים, תמורות ומטריצות תמורה, קיום ויחידות של פונקצית הדטרמיננט, חישוב של דטרמיננט, דטרמיננט של מטריצה מוחלפת. קו-פקטורים, מינורים ו-adjoints. דרגת מטריצה. המכפלה הוקטורית, המכפלה הסקלרית והמכפלה המשולשת והצגתן כדטרמיננט, פרוש גיאומטרי. העתקה לינארית והצגתה, מטריצת סיבוב כאופרטור, החלפת בסיס. ערכים ווקטורים עצמיים, מינורים, דמיון, ריבוי אלגברי וגיאומטרי, תת-מרחב אינווריאנטי, הצורה הקנונית של ז’ורדן. מרחבי מכפלה פנימית, בסיסים אורתוגונליים, שקילות אוניטרית ומטריצות הרמיטיות. תבנית רבועית, מטריצה חיובית מוגדרת. מטריצה אורתוגונלית כהכללה של סיבוב במרחב, אלכסון של מטריצה, ציר הסיבוב, מיון שניוניות במישור ובמרחב וצורות קנוניות.
Course description
Field of numbers (Rational, Real, Complex, Examples of finite fields).
Matrices, rotation matrices in the plane and in space, algebra and geometric properties. Linear equations, row operations on matrices, the row echelon form. Homogenous systems of equations, consistency conditions, general solution. Inverse matrices. Vector spaces, sub-spaces, linear dependence and linear independence. Bases and the change of bases, row spaces of matrices, column equivalence, row-column equivalence, equivalence relations and canonical forms of matrices.
Determinants: introduction as a volume function, permutations and permutation matrices, uniqueness and existence of the determinants function, practical evaluation and exterminations of transpose matrices. Cofactors, minor and adjoints, determinant and ranks. Vectors products, scalar product, the triple product and its representation as determinants, geometrical interpretation. Linear transformations and representations, rotation matrices as operators, change of bases. Eigenvalues and Eigenvectors, minors, similarity, algebra and geometric multiplicites, invariant sub-space, Jordan canonical form. Inner products, orthogonal bases, unitary equivalence and hermitian matrices. Quadric forms, positive definite matrices, orthogonal matrices as a representation of a spatial rotations, diagonolization of matrices, rotation axes, canonical forms. Classification of dyadics in the plane and in space.
Matrices, rotation matrices in the plane and in space, algebra and geometric properties. Linear equations, row operations on matrices, the row echelon form. Homogenous systems of equations, consistency conditions, general solution. Inverse matrices. Vector spaces, sub-spaces, linear dependence and linear independence. Bases and the change of bases, row spaces of matrices, column equivalence, row-column equivalence, equivalence relations and canonical forms of matrices.
Determinants: introduction as a volume function, permutations and permutation matrices, uniqueness and existence of the determinants function, practical evaluation and exterminations of transpose matrices. Cofactors, minor and adjoints, determinant and ranks. Vectors products, scalar product, the triple product and its representation as determinants, geometrical interpretation. Linear transformations and representations, rotation matrices as operators, change of bases. Eigenvalues and Eigenvectors, minors, similarity, algebra and geometric multiplicites, invariant sub-space, Jordan canonical form. Inner products, orthogonal bases, unitary equivalence and hermitian matrices. Quadric forms, positive definite matrices, orthogonal matrices as a representation of a spatial rotations, diagonolization of matrices, rotation axes, canonical forms. Classification of dyadics in the plane and in space.
הנדסה | תואר ראשון - קורסי שירות
0509-1824-25 אלגברה לינארית
Linear Algebra
שנה"ל תשע"ה | סמ' א' | גב' מונד אדוה
666סילבוס מפורט/דף מידע
1. גיאומטריה
שיעורים (6-10 שעות הרצאה): הגדרה גיאומטרית והצגה קרטזית של וקטורים במישור ובמרחב: הצגה גרפית, אורך וכוון, וקטורים קשורים וחופשיים, סקלר וכפל בסקלר, חיבור וחיסור גיאומטרי על פי חוק המקבילית ובקואורדינטות, תנאים גיאומטריים ואלגבריים לקו-לינאריות ולקו-מישוריות, תלות של וקטורים במישור ובמרחב, וקטורי יחידה על הצירים והצגת כל וקטור בעזרתם, היטלים על ישר ומישור, פירוק וקטור לרכיבים בכוונים בלתי תלויים. הגדרה גיאומטרית וקרטזית של מכפלה סקלרית ומכפלה וקטורית, זהויות וקטוריות, חוקי פילוג וקיבוץ (דיסטריבוטיבי ואסוציאטיבי), חישוב המכפלות הנ"ל לוקטורי היחידה על הצירים, תנאי לניצבות, מכפלה משולשת, שטח מקבילית ונפח מקבילון. הצגה וקטורית וקרטזית של ישר ומישור באמצעות המכפלות הנ"ל, נורמל למישור, נוסחה למרחק בין נקודה לישר ולמישור, ישרים מצטלבים במרחב והמרחק ביניהם.
2. אלגברה לינארית
שיעורים 1,2: האלגברה של המטריצות: שדות מספרים (רציונאליים, ממשיים, מרוכבים, דוגמאות לשדות סופיים), הגדרת מטריצה מעל שדה, האלגברה של המטריצות. מטריצות ריבועיות, הופכית, מחלקי אפס (פרק 1).אלגברה לינארית
שיעורים 3,4,5: משוואות ליניאריות: מערכות שקולות של משוואות ליניאריות, פעולות על שורות של מטריצות, צורת row echelon form. מערכת הומוגנית, תנאי קונסיסטנטיות, פתרון כללי, היפוך של מטריצות לא סינגולריות (פרק 2).
שיעורים 6,7,8,9: מרחבים וקטוריים: הוקטורים ומרחבים וקטוריים, תת-מרחב וצירופים ליניאריים, תלות ואי-תלות ליניארית. בסיסים, בסיסים והצגות, מרחב השורות של מטריצה, שקילות בעמודות, שקילות שורות-עמודות, יחס שקילות וצורות קנוניות של מטריצות. (פרק 3).
שיעורים 10,11,12: דטרמיננטים: נפח ב-R3 וב- Rn, תמורות ומטריצות תמורה, קיום ויחידות של פונקצית הדטרמיננט, חישוב של דטרמיננט ודטרמיננט של המטריצה המוחלפת. קו-פקטורים, מינורים, ו-adjoints. הדטרמיננט ודרגת מטריצה. (פרק 4).
שיעור 13,14: העתקות ליניאריות: הגדרות, הצגה של העתקה ליניארית, הצגות תחת החלפת בסיס. (פרק 5). מטריצת סיבוב במישור ובמרחב כאופרטורים.אלגברה לינארית
שיעורים 15-18: ערכים ווקטורים עצמיים: הגדרות, הקשר בין ע"ע ומינורים, דמיון, ריבוי אלגברי וגיאומטרי, תת-מרחבים אינווריאנטיים של אופרטור. הצורה הקנונית של ז’ורדן (ללא הוכחה), פונקציה של מטריצה, יישום למשוואות דיפרנציאליות לינאריות עם מקדמים קבועים (יציבות). (פרק 6, 8.2).אלגברה לינארית
שיעורים 19-23: מרחבי מכפלה פנימית: מכפלות פנימיות, הצגה של מכפלה פנימית, בסיסים אורתוגונליים, שקילות אוניטרית ומטריצות הרמיטיות, קונגרואנציה ושקילות קוניונקטיבית,
שיעורים 24-28: ליכסון מטריצה סימטרית ע"י דמיון אורתוגונאלי, מציאת ציר הסיבוב, מיון שניוניות במישור ובמרחב וצורות קנוניות. (7.1-7.6).