 שנה"ל תשע"ו | |||||||||||||||||||||||||
 |
 |
||||||||||||||||||||||||
|
אלגברה לינארית
Linear Algebra |
0509-1824-15 | ||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| הנדסה | תואר ראשון - קורסי שירות | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
ש"ס: 2.0
סילבוס מקוצר
משקל: 6
7 שעות (5 שעות הרצאה + 2 שעות תרגול).
מערכות משוואות ליניאריות, אלגברה של מטריצות, דטרמיננטים, מרחבים וקטוריים, ערכים ווקטורים עצמיים ולכסון מטריצות, מרחבי מכפלה פנימית, מטריצות סימטריות ולכסון אורתוגונלי, צורות ז’ורדן.
Course description
Field of numbers (Rational, Real, Complex, Examples of finite fields).
Matrices, rotation matrices in the plane and in space, algebra and geometric properties. Linear equations, row operations on matrices, the row echelon form. Homogenous systems of equations, consistency conditions, general solution. Inverse matrices. Vector spaces, sub-spaces, linear dependence and linear independence. Bases and the change of bases, row spaces of matrices, column equivalence, row-column equivalence, equivalence relations and canonical forms of matrices.
Determinants: introduction as a volume function, permutations and permutation matrices, uniqueness and existence of the determinants function, practical evaluation and exterminations of transpose matrices. Cofactors, minor and adjoints, determinant and ranks. Vectors products, scalar product, the triple product and its representation as determinants, geometrical interpretation. Linear transformations and representations, rotation matrices as operators, change of bases. Eigenvalues and Eigenvectors, minors, similarity, algebra and geometric multiplicites, invariant sub-space, Jordan canonical form. Inner products, orthogonal bases, unitary equivalence and hermitian matrices. Quadric forms, positive definite matrices, orthogonal matrices as a representation of a spatial rotations, diagonolization of matrices, rotation axes, canonical forms. Classification of dyadics in the plane and in space.
Matrices, rotation matrices in the plane and in space, algebra and geometric properties. Linear equations, row operations on matrices, the row echelon form. Homogenous systems of equations, consistency conditions, general solution. Inverse matrices. Vector spaces, sub-spaces, linear dependence and linear independence. Bases and the change of bases, row spaces of matrices, column equivalence, row-column equivalence, equivalence relations and canonical forms of matrices.
Determinants: introduction as a volume function, permutations and permutation matrices, uniqueness and existence of the determinants function, practical evaluation and exterminations of transpose matrices. Cofactors, minor and adjoints, determinant and ranks. Vectors products, scalar product, the triple product and its representation as determinants, geometrical interpretation. Linear transformations and representations, rotation matrices as operators, change of bases. Eigenvalues and Eigenvectors, minors, similarity, algebra and geometric multiplicites, invariant sub-space, Jordan canonical form. Inner products, orthogonal bases, unitary equivalence and hermitian matrices. Quadric forms, positive definite matrices, orthogonal matrices as a representation of a spatial rotations, diagonolization of matrices, rotation axes, canonical forms. Classification of dyadics in the plane and in space.
הנדסה | תואר ראשון - קורסי שירות
0509-1824-15 אלגברה לינארית
Linear Algebra
שנה"ל תשע"ו | סמ' א' | מר שבתאי אוד
666סילבוס מפורט/דף מידע
נושאי הקורס*:
|
הרצאה
|
נושא
|
|
10 שעות
|
מערכות משוואות ליניאריות: פתרון בעזרת שיטת הניפוי של Gauss, מערכות שקולות, מטריצות בצורה מדורגת ומדורגת קנונית, דרגת מטריצה. חקירת מערכת משוואות על ידי דירוג מטריצת המערכת. תכונות של מערכת הומוגנית. מבוא לגיאמטריה אנליטית: וקטורים במישור ומרחב, חיבור וכפל בסקלר של וקטורים במישור ובמרחב. המשוואה הפרמטירת של קו ישר ושל מישור, מצב הדדי ששל ישרים ומישורים. משמעות גיאומטרית של פתרון מערכת משוואות ליניאריות. מרחק בין שתי נקודות, משפט Pythgoras ונורמל למישור.
|
|
10 שעות
|
אלגברה של מטריצות: הגדרות בסיסות וסוגים מיוחדים של מטריצות. פעולות על מטריצות: חיבור, כלל המקבילית, כפל בסקלר, כפל, שיחלוף. מטריצה הפיכה ומטריצה סינגולרית. מציאת מטריצה הפיכה. מערכת משוואות ליניאריות בכתיב מטריציאלי, משפט על מבנה של הפתרון של מערכת לא הומוגנית.
|
|
10 שעות
|
דטרמיננטה של מטריצה: הגדרה של דטרמיננטה, שטח מקבילית ושטח מקבילון. קו-פקטורים, מינורים, חישוב ותכונות של דטרמיננטה. כלל Cramer לפתרון מערכת משוואות. מציאת מטריצה הפוכה על ידי שימוש בדטרמיננטות (מטריצת adjoint ותכונותיה). מכפלה וקטורית ומכפלה משולשת במרחב אוקלידי.
|
|
8-9 שעות
|
מרחבים וקטוריים: הגדרה ודוגמאות בסיסיות, תת מרחב וקטורי. סכום וחיתוך של תת מרחבים. צירוף ליניארי, פרישה, תלות ואי-תלות ליניארית. מרחב השורות/העמודות של מטריצה. בסיס ומימד של מרחב וקטורי. הצגות תחת החלפת בסיס. משפט המימד הראשון.
|
|
8-9 שעות
|
העתקותלינאריות: הגדרה ודוגמאות, הצגה מטריציאלית של העתקה ליניארית, תמונה וגרעין של העתקה ליניארית, דרגה של העתקה ליניארית, משפט הממד השני. העתקה חד – חד ערכית והעתקה על. הרכבה של העתקות ליניאריות, העתקה הפיכה והעתקה הפוכה. הצגות תחת החלפת בסיס. מטריצת סיבוב במישור ובמרחב.
|
|
8-9 שעות
|
ערכים ווקטורים עצמיים הגדרות והתכונות שלהם. ריבוי אלגברי וגיאומטרי. לכסון מטריצה: וקטורים עצמיים וערכים עצמיים. דמיון מטריצות. שימושים (כללי נסיגה ו/או מד"ר עם מקדמים קבועים).
|
|
7 שעות
|
מרחבי מכפלה פנימית: דוגמאות (כולל המכפלה הפנימית האינטגרלית), הגדרת אורתוגונליות של וקטורים והגדרת הנורמה. בסיסים אורתונורמליים, מציאת קואורדינטות לפי בסיס אורתונורמלי. תהליך גרהם- שמידט.הצגה של מכפלה פנימית.
|
|
5 שעות
|
מטריצות סימטריות: ליכסון ע"י דמיון אורתוגונאלי, תבניות ריבועיות. צורות קנוניות של שניוניות במישור ובמרחב.
|
|
3 שעות
|
משפט ז’ורדן: הצורה הקנונית של ז’ורדן (ללא הוכחה), פונקציה של מטריצה.
|
*סדר הנושאים יכול להשתנות בהתאם לשיקול דעת המרצה.
הערה:הפרקים המצוינים לעילמתארים את חומר הלימוד בקווים כלליים. התכנים המדויקים ברמת הפירוטהמתחייב יינתנו בהרצאות עצמן. בנוסף,חלוקת הזמן שיוקדש לנושאי הלימוד לפי שבועות היא בגדר תכנון ראשוני: יתכנו שינויים ועדכונים בהתאם לקצב לימוד בפועל.